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« Perchè una equazione della forma 
Pa) 
Dono Csa ne 7 259 00 kr, ="@< 
« c essendo una costante arbitraria, ci dia un integrale primo per le equazioni delle 
geodetiche nella varietà fondamentale considerata, è necessario e basta che il sistema 
« derivato secondo dal sistema controvariante cY17:""# (o dal suo reciproco rispetto 
“A @, Crirg.rn) Sia emisimmetrico » (!). 
6. Se una congruenza 4, non è geodetica, si ponga 
yo = di Vnin > 
assumendo per y il valore positivo, che soddisfa a questa equazione, e di più 
y2, a DI Ynin Zip . 
Le 2', saranno gli elementi del sistema coordinato covariante di una congruenza 
di linee ortogonale alla congruenza %,. Si concepisca uno spazio piano S, in cui la 
varietà fondamentale sia immersa, e per un punto qualunque P di questa si conduca 
nello spazio S un vettore di lunghezza y e la cui direzione coincida colla direzione 
positiva della linea 4’, passante per P. Chiamerò questo vettore curvatura geodetica 
della congruenza 4, nel punto P, e si avrà 
a) Che l'annullarsi identicamente della curvatura geodetica di una congruenza 
costituisce la condizione necessaria e sufficiente perchè questa sia geodetica; 
5) che per una congruenza non geodetica la curvatura geodetica è rappresen- 
tata in un punto qualunque P_ da un vettore normale alla linea della congruenza, 
che passa per P; 
c) che la proiezione della curvatura geodetica di una congruenza in un punto P 
sopra una retta qualunque 7 non parallela alla linea della congruenza passante per P 
dà la flessione della proiezione di questa linea sul piano condotto per la sua tangente 
parallelamente alla direzione 7. i 
7. In secondo luogo mi propongo di stabilire le condizioni necessarie e  suffi- 
cienti perchè una congruenza 4, sia normale; 0, ciò che equivale, perchè gli ele- 
menti 4, del sistema coordinato covariante della congruenza data siano proporzio- 
nali alle derivate di una funzione rispetto alle variabili indipendenti. 
Mantenendo le convenzioni e notazioni stabilite sopra, le condizioni di cui si 
tratta, equivalgono a quelle necessarie e sufficienti perchè il sistema di equazioni a 
derivate parziali 
Po «o 0=1,8,02=1) 
sia completo e sono quindi rappresentate dalle equazioni 
DE 450 Si (4,9 Ahprs aa A, 9 Ax.1rs) =0, 
(1) Questo teorema fu da me dimostrato per la equazione delle geodetiche sulle superficie a 
due dimensioni nella citata Memoria Sulla teoria delle lince geodetiche ecc. Il dott. Levi-Civita 
mi ha avvertito che esso può estendersi senza difficoltà alle varietà di quante si vogliano dimensioni. 
