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le quali, per le (4) e (5), assumono la forma 
(15) = (AIB) 
Per quanto si vide al n. 4, queste equazioni dànno luogo alla seguente interpreta- 
zione cinematica: 
«Sia data una congruenza di linee 4, in una varietà fondamentale ad x dimensioni, es- 
« sendo n = 3, e assieme ad essa si considerino altre x — 1 congruenze 41,,, 42,13 ..An-1/r 
« ortogonali fra di loro due a due ed ortogonali alla congruenza 4,. Sia S uno spazio piano, 
« in cui la varietà fondamentale si trovi immersa, T,x lo spazio piano a tre dimensioni 
« determinato dalle tangenti alle linee 4,, Z,,, e Zx,, passanti per uno stesso punto 
« P, e queste linee si proiettino appunto nello spazio Tx. Perchè la congruenza 4, 
« sia normale, o, in altri termini, perchè gli elementi 4, siano proporzionali alle de- 
« rivate di una funzione rispetto alle variabili indipendenti #,, è necessario e basta 
« che il triedro formato dalle tangenti a quelle proiezioni ruoti di angoli eguali 
intorno agli assi di spostamento, quando il suo vertice si sposti infinitamente poco 
« lungo la tangente all'una od all’ altra delle linee 4,,, 0 4x,,; sempre che gli spo- 
« stamenti avvengano nel senso positivo di queste e come sensi positivi delle rota- 
« zioni si assumano quelli, pei quali si passa dalle linee 4,,, 0 Z,y alle linee 4, ». 
È ben inteso che le condizioni del precedente enunciato debbono essere soddi 
(_-1)(a_--2) 
2 
LS 
sfatte in ogni punto P della varietà 4 e per tutti gli triedri, che 
si possono considerare; e verificate per questi lo saranno poi per ogni triedro costi- 
tuito dalle tangenti in P alla congruenza 4, e ad altre due congruenze ortogonali a 
questa e fra di loro nella varietà 4 e del resto qualunque. — In particolare poi 
vale per lo spazio piano a tre dimensioni il seguente teorema. 
« Siano Z,, 4,,r, 4g,r tre congruenze di linee ortogonali fra di loro due a due 
« nello spazio piano a tre dimensioni. Perchè la congruenza 4, sia normale, è ne- 
cessario e basta che le rotazioni del triedro formato dalle tangenti alle linee delle 
« tre congruenze passanti per uno stesso punto qualunque dovute ad uno spostamento 
positivo infinitesimo di questo lungo l'una o l’altra delle linee Z,,, e Z:,, intorno 
all'asse di spostamento siano eguali, sempre che come sensi positivi delle rotazioni 
« si assumano quelli, pei quali si passa dalle linee 2,,, o %,,, alle linee 4, ». 
Si osservi che, verificate le (15), dalle (4), per R=%, si traggono le 
(16) Ars == Àsr = Da Vinn (4, Zits ni 4; à;hr) 0 
Se poi la congruenza 4, è insieme geodetica e normale, per le (13), queste assumono 
la forma 
LS 
x 
US 
Ars = sy 
e ci dicono che gli elementi 4, sono le derivate rispetto alle x, di una funzione 4. 
Indicando con s l’arco delle linee 4,, la (1) assume allora la forma 
SS 
| 
pi 
