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e ci dice che le superficie di parametro 4 sono geodeticamente parallele e che il 
parametro 4 misura la distanza di una qualunque di esse dalla superficie 4 == 
8. Si suppongano ora soddisfatte le (15), cioè si supponga che le 2, siano pro- 
porzionali alle derivate di una funzione o rispetto alle variabili indipendenti x, e si 
cerchino le condizioni necessarie e sufficienti perchè il sistema di superficie di para. 
metro 0 sia isotermo nella varietà fondamentale. In tal caso potremo assumere per @ 
il parametro termometrico del sistema e, posto 
0, uh, , 
sì tratterà di stabilire le condizioni necessarie e sufficienti perchè la funzione w possa 
determinarsi in modo da soddisfare in pari tempo alle equazioni 
Ors = Osr ) DE GOD Ors = 0. 
Per le 0,s avendosi le espressioni 
Os = sd, 4 Mds, 
posto 
yw= log w, v==" Dy 
le precedenti equazioni assumono la forma 
Y, == VÀ, + DI Ynin Vilr - 
Stabilendo in fine le condizioni di integrabilità di queste, e tenendo conto delle (4) 
e delle (16), si trovano le condizioni cercate espresse dalle seguenti equazioni, in 
cui è e X debbono assumere tutti i valori 1, 2,..ax—-1; 
dYynnn S — = 
È 2 LL Ea a - ala VYnhn i Ynin (Yin Yin) 0 
(17) 
d d 
ra sigla DI Vinn Vink Do sno DE Vinn Vikh - 
Si può dunque concludere che, se 4, è il sistema coordinato covariante di una 
congruenza normale e Z,,y, 4g; , -- An-1jr SONO i sistemi coordinati covarianti di altre 
n—1 congruenze formanti con quella un sistema ortogonale, le equazioni (17) in 
numero di n vsprimono le condizioni necessarie e sufficienti perchè il sistema 
di superficie sia isotermo. Verificate le (17), il sistema di elementi 
(18) wW,= DI, (Vini À, + Ynin Zi) 
risulta delle derivate di una funzione w rispetto alle variabili indipendenti x,; e 
così pure il sistema di elementi 
@ = ev. d, 
Indicando poi con C e c delle costanti arbitrarie, e con g un integrale qualunque di 
questo sistema Co + c è la espressione generale di tutti i parametri termometrici del 
sistema di superficie di cui si tratta. 
