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posto 
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b) 
in altri termini perchè le due equazioni (E) ed (s) costituiscano un sistema completo. 
Dalle formole di derivazione controvariante sì traggono le 
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TE rn) N Wp) 70) 
= D_pUg dl — 2 pg AVA Agp. 
Valgono quindi anche le 
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Dis 00 da = 2 p@p 4 — Dogs 09 XI 0° dasp 
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e quindi le 
IPP MI= LE eng. 
Poichè, per ipotesi, o è un integrale della equazione (E), si avrà 
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e quindi 
d 
0) PIX(MiXIPM{= 232 Dx gp. 
Indicando con %;js il sistema coordinato covariante della congruenza costituita dalle 
traiettorie ortogonali alle superficie di parametro @, cioè ponendo 
Alan @o ln = a , 
le condizioni perchè le equazioni (E) ed (e) costituiscano un sistema completo, come 
risulta dalle (1) (2) e (3), consistono in ciò che si possano determinare due coeffi- 
cienti @, e &,, pei quali valgano le identità 
DE A Xx = 4, — ©; À Jr ; 
le quali ci dicono che il sistema 4,,, deve appartenere ad un sistema canorico orto- 
gonale rispetto alla congruenza Z, considerata come fondamentale (S$ II). Possiamo 
dunque concludere che 
.« Perchè tra i sistemi semplicemente infiniti di superficie di una congruenza 
« data 4, ne esista uno ortogonale nella varietà fondamentale ad altri n — 2 sistemi 
« di superficie della congruenza stessa, è necessario e sufficiente che tra le congruenze 
« appartenenti ai sistemi canonici ortogonali alla proposta ve ne sia una, che risulti 
« delle traiettorie ortogonali ad un sistema di superficie S. Se ciò avviene, il sistema S 
« soddisfa appunto alla condizione voluta ». 
