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12. Si ricerchino ora le condizioni necessarie e sufficienti perchè le linee carat- 
teristiche della equazione (E) nella varietà fondamentale risultino come intersezioni 
delle superficie di n—1 sistemi ortogonali fra di loro due a due nella varietà stessa. 
In linguaggio analitico si cerchino le condizioni necessarie e sufficienti perchè la equa- 
zione (E) ammetta n — 1 integrali 01, 02, ..-@n-1 legati fra loro due a due dalle 
relazioni 
Do og =0. (h5%,h,kB=1,2..n—1). 
Questo caso verificandosi, dirò che 0,, 02, --- @n-1 GOStituiscono nella varietà fonda- 
mentale considerata un sistema fondamentale ortogonale di integrali per la equa- 
zione (E). 
È chiaro che, se un tale sistema esiste, i sistemi di superficie di parametri 
21,02; + Qn-r, appartenenti perciò alla congruenza 4,, sono tali che ciascuno di essi 
è ortogonale ad altri x — 2 sistemi di superficie della congruenza stessa. Da quanto 
abbiamo già stabilito risulta quindi che 
1.° « Se le linee caratteristiche della equazione (E) nella varietà risultano 
« dalle intersezioni delle superficie di x — 1 sistemi ortogonali fra di loro due a due 
« nella varietà stessa, le congruenze costituite dalle traiettorie ortogonali di questi 
« sistemi dànno un sistema canonico ortogonale rispetto alla congruenza 4, considerata 
«come fondamentale ». 
2.° « Perchè le linee caratteristiche della equazione (E) nella varietà fonda- 
« mentale risultino dalle intersezioni delle superficie di n — 1 sistemi ortogonali fra 
« di loro due a due nella varietà stessa, è necessario e basta che tra i sistemi 
« canonici ortogonali rispetto alla congruenza 4, ne esista uno costituito da con- 
« gruenze normali. Se questa condizione è soddisfatta, gli n — 1 sistemi di superficie, 
« le cui traiettorie ortogonali costituiscono un sistema canonico ortogonale rispetto alla 
« congruenza Z, , hanno per comuni intersezioni le linee di questa congruenza e si 
« tagliano due a due sotto angolo retto. ». 
Se la equazione algebrica caratteristica della congruenza 4, nella varietà fondamen- 
tale ha tutte le radici distinte, è facile dedurre dalle cose dimostrate sopra le espressioni 
analitiche delle condizioni, che sono state ora stabilite geometricamente. In questo 
caso infatti esiste, come abbiamo visto, un unico e determinato sistema di con- 
gruenze canonico ortogonale nella varietà fondamentale rispetto alla congruenza fon- 
damentale 4,; e le condizioni, di cui si tratta, coincideranno con quelle necessarie e 
sufficienti perchè ciascuna delle congruenze, di cui tale sistema risulta, sia normale. 
Queste poi, conservando le notazioni stabilite nel $ I, sono date, secondo le (15) 
del $ I, dalle equazioni : 
Vink =" Vikh y 
nelle quali deve assumere tutti i valori 1, 2,..z —1; mentre ad % e % basterà 
attribuire tutti i valori differenti fra loro scelti tra i numeri 1,2,3,... 7, eccet- 
tuato 7. 
