— 309 — 
È opportuno dividere queste equazioni in due gruppi, comprendendo in un primo 
gruppo tutte quelle, in cui uno dei due indici & e % assume il valore n; in un se- 
condo gruppo le rimanenti. Le equazioni del primo gruppo sono dunque le 
Ynkh + Vahni— 105 
gli indici & e X essendo distinti l’ uno dall'altro e da %. Per le (12) del $ II esse 
assumono la forma 
(A) Sr Yrs da, © a 9 = 0 , 
essendo 
Ya = Da AD Xrsg — DID APD (Xsp Arg + Krq dsp) - 
In esse (#4) rappresenta una combinazione qualunque semplice di 2° classe dei nu- 
(a 1) @—2) 
TR A ZI 
2 
condo gruppo possono esser messe sotto la forma 
meri 1, 2,..n—1,e è quindi il loro numero. Le equazioni del se- 
Vin tyun=0 , 
gli indici 7, A, X essendo tutti distinti fra di loro e da 7. Esse equivalgono (') alle 
Virna = 0 
e per le (13) del $ II possono essere sostituite dalle 
(B) 2 Dot Axl A KO Xx = Ynhin YotiL Ynkn Ynhi 
In queste (4%) rappresenta una qualunque disposizione a tre a tre degli indici 
(a 1)(n_-2)@—3) 
2 
conto delle (5) del S I. Se le linee della congruenza 4, sono geodetiche, le ynns sono 
‘ nulle e le (B) assumono la forma più semplice 
DI dx (O AO Xst = . 
1, 2,3,...w—1. Il loro numero è , come si vede tenendo 
13. Mi propongo ora di stabilire le espressioni analitiche delle condizioni necessarie 
e sufficienti perchè la equazione (E) ammetta nella varietà fondamentale un sistema 
fondamentale ortogonale di integrali, quando la equazione algebrica caratteristica della 
congruenza 4, nella varietà stessa non abbia tutte le radici distinte. Come nel $ I, 
©, 02, ... 0, Siano tutte le radici distinte di questa equazione; 721,72, ... 72, i loro 
rispettivi ordini di multiplicità; C,, C2,... C, i gruppi corrispondenti, in cui sì ri- 
partiscono le congruenze appartenenti ai sistemi canonici ortogonali rispetto alla 
congruenza fondamentale 4,. Se 01,02, @n-1 costituiscono per la equazione (E) 
(1) Per convincersi di ciò basta considerare insieme le tre equazioni 
Vinntynin=0, yrind_ynri=0, Ynxi 4 yin = 0 
lineari omogenee a tre incognite; il cui determinante risulta eguale a 2. 
