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nella varietà fondamentale un sistema fondamentale ortogonale di integrali, come fu 
dimostrato, le congruenze delle traiettorie ortogonali alle superficie dei sistemi di para- 
metri 01,02). @n-1 devono tutte appartenere ad un sistema canonico ortogonale 
rispetto alla congruenza fondamentale %,. Gli integrali 01, 0», 0n-1, dovranno quindi 
ripartirsi in p gruppi I, , Is, ... I, corrispondenti ai gruppi di congruenze C; , C3, ... Cp 
per guisa che il gruppo Ix contenga tutti e soltanto i parametri di quei sistemi di 
superficie, le cui traiettorie ortogonali formano delle congruenze appartenenti al 
gruppo Cx. E poichè la somma mi + mo + — + m, è eguale ad n— 1 cioè al nu- 
mero degli integrali, di cui si tratta, ogni gruppo I, ne conterrà precisamente 72. 
Ne segue che, se con 4,90, 4,9... Mr sì indicano i sistemi coordinati contro- 
varianti di 72, congruenze fra loro indipendenti del gruppo C, e con Gy il sistema 
di 2 —m, equazioni indipendenti, che si ottengono associando alla equazione (E) 
tutti i sistemi 
(9a) = Yo? =0 (= vola 
eccettuato il solo sistema (gx), il sistema G, ammetterà come integrali gli nm, integrali 
del gruppo I} e sarà quindi completo. 
Dimostrerò ora che, reciprocamente, se tutti i sistemi G, , Gs, ... G, sono completi, 
esistono dei sistemi fondamentali di integrali ortogonali per la equazione (E); o, in altri 
termini, che si possono determinare nella varietà fondamentale n — 1 sistemi di superficie 
della congruenza 4, ortogonali fra di loro due a due. Poichè ogni sistema Gy è, per 
ipotesi, completo, esso ammetterà 7, integrali indipendenti; i quali, appunto perchè 
soddisfanno alle equazioni del sistema Gx, sono tali che le loro derivate prime sod- 
disfanno allo stesso sistema di n — mx equazioni algebriche lineari ed omogeneo 
indipendenti, cui soddisfanno gli elementi dei sistemi coordinati covarianti delle con- 
gruenze del gruppo Cx. Quelle derivate si esprimeranno quindi linearmente per questi 
elementi, dal che, ricordando ($ II) che le congruenze di due gruppi distinti sono 
ortogonali fra di loro, si conclude che tali sono pure gli integrali appartenenti a duo 
gruppi distinti. Così risulta senz’ altro dimostrato quanto mi sono proposto nel caso 
già considerato, in cui le radici della equazione algebrica caratteristica della congruenza 
AZ, nella varietà fondamentale siano tutte distinte; nel qual caso i gruppi Cx sono in 
numero di x —1 e, come si è visto, il sistema fondamentale ortogonale di integrali 
della equazione (E), se esiste, è unico e determinato. 
Nel caso generale si deve ancora dimostrare che, se è mx > 1, gli integrali del 
sistema Gx si possono scegliere in modo che due qualunque di essi risultino ortogonali 
fra di loro. Per ciò si osservi che, se 0, è un integrale qualunque del sistema Gx, 
le sue derivate 0,,, essendo funzioni lineari ed omogenee degli elementi dei sistemi 
coordinati covarianti delle congruenze del gruppo Gx, le traiettorie ortogonali del 
sistema di superficie di parametro 0, faranno parte di un sistema canonico ortogonale 
alla congruenza 4,. Esisteranno quindi ($ II) altri n — 2 integrali della equazione (E) 
ortogonali a g, e cioè, oltre agli integrali appartenenti ai gruppi I, Is, ++ Ir, Ia + Ip, 
che sono in numero di x — mx — 1, ne esisteranno altri mx — 1 indipendenti da questi 
