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e che possono riguardarsi come funzioni degli integrali del gruppo I, (!). Questi in- 
tegrali appartengono dunque tanto al sistema di equazioni Gx quanto alla equazione 
DI Qi cli a 0 b) 
e però tutte queste equazioni in numero di 2 — mx +1 costituiscono un sistema 
completo. Se si sceglie un integrale di questo sistema come secondo integrale os del 
gruppo Gx, esso sarà evidentemente ortogonale all' integrale o1. Si riconosce poi con 
ragionamento analogo a quello ora esposto che, se è 72, >2, il sistema di equazioni 
testè considerato rimane completo anche se vi si aggiunge la equazione 
Via o 
dx, 
in 
e se ne conclude che, scegliendo come terzo integrale del gruppo G, un integrale 03 
di questo nuovo sistema, gli integrali 9:,g»,03 saranno ortogonali fra di loro due 
a due. Analogamente per mx >3 sì dimostrerebbe la esistenza di un quarto integrale 
del gruppo I, ortogonale ai tre già determinati; e, in generale, la esistenza di 72, 
integrali del gruppo stesso ortogonali fra di loro due a due. 
Per esprimere analiticamente le condizioni necessarie e sufficienti per la esistenza 
di sistemi fondamentali ortogonali di integrali della equazione (E), che sono state 
ora stabilite, sia 41,y, 4g, +-+ An-yr un sistema di congruenze canonico ortogonale ri- 
spetto alla congruenza fondamentale 4,; e in particolare 4x,,y, 4ny/r + by siano quelle 
del gruppo G,, e si ponga 
- Y.2,0 DU 
Ai ara DA 4; } dx; 
((=1,2,..n—1) 
= dA 
ne dx; 
Risultano le 
Ax (A) — Ag (An= Dir fP DI; (AZ; — GO Uro) 
(1) Se Pr, Pa) 0 Pm Pmtr  Pn-1 Sono integrali indipendenti di una equazione 
5 Xn) If = 0 
da, È 
e, essendo p<n—-m_—-1, w1,42,.. Wp sono integrali della equazione stessa indipendenti fra di 
loro e da 1, 9a, ..-9m, Sì avranno per le w delle espressioni 
War = n (Pi Par Pra Pmta Pn) , 
da cui sarà impossibile eliminare le Pm+1 -.- Pn-1, poichè altrimenti, contro la ipotesi, si perverrebbe 
a delle relazioni tra @1,P2,---Pm € Vi, Wa, Wp. Le yi, Wa, ... Yp costituiranno quindi un sistema 
di integrali indipendenti della equazione (@) anche se nelle loro espressioni (8) le 91,2, ... @m si 
intendono sostituite da costanti arbitrarie, rimanendo così le w funzioni delle sole gm: ... Par. 
