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cioè, posto 
Cp = DI (Vinj — Yin) iP , 
d 
Ai, (A) — A; (Ax) = Dr an; di 
Perchè uno qualunque dei sistemi G, sia completo, sarà dunque necessario e sufficiente 
che i coefficienti @,;! si esprimano linearmente per le 44 e per le 21,43 ...42,, 
escluse le Ax per X= 1,2, Xm,, Cioè che siano soddisfatte le equazioni 
SE CID rpp= 0, 
o, sott’ altra forma, le 
(4) Ykhj =" YRih » 
nelle quali X deve assumere tutti i valori da 1 fino ad r—-1; mentre, se Gy è il 
gruppo di congruenze, cui appartiene la congruenza 4x,r, e quindi a % si attribuisce 
uno. dei valori X1,%2,.- my, # e 7 debbono assumere tutti i valori 1,2,... , 
esclusi però quelli ora indicati. 
Le equazioni (4) si dividono dapprima in due gruppi, come nel caso in cui è 
p=—1, ascrivendo ad un primo gruppo quelle, in cui uno degli indici 7 ed 4 è 
uguale ad x, ad un secondo gruppo tutte le altre. Quelle del primo gruppo assumono, 
come nel caso citato, la forma (A), purchè si intenda che gli indici % e 7 contrasse- 
gnino due congruenze appartenenti a gruppi distinti di un sistema canonico ortogonale 
rispetto alla congruenza fondamentale 4,; in altri termini purchè le radici w, ed w; 
si intendano distinte. Questo primo gruppo contiene quindi un numero di equazioni 
eguale alla somma dei prodotti due a due dei numeri 7,2, Wp. 
Le equazioni del secondo gruppo .si suddividono in vece in due nuovi gruppi, 
appartenendo al primo quelle, per cui le radici ©, ed w; sono distinte; al secondo 
quelle, per cui è 0, = ©; Le prime assumono ancora la forma (B), purchè le radici 
©; , 0, ed © si suppongano tutte distinte; ed il loro numero è eguale a tre volte la 
somma dei prodotti tre a tre dei numeri m,,73:,... #p. Le altre, per le (13) del 
S II, assumono la forma 
(C) Da Ax D A, À; 9 (e == Xgsr) = Ynhj + En Ynkj + Ss Ynhk 5 
e queste dovranno essere soddisfatte per A, %, j differenti fra loro e da x e per x 
ed w; eguali fra di loro ma distinte da wy. Il loro numero è dato dalla somma dei 
Ma + Ma Ed] 
2 
due a due delle radici @,,@;,... ®p. 
Le equazioni (A), (B) e (C) intese nel modo esposto sopra ci dànno dunque le 
condizioni necessarie e sufficienti perchè la equazione (E) ammetta dei sistemi fonda- 
mentali ortogonali di integrali nella varietà fondamentale; e dalle considerazioni 
prodotti della forma mx Mx ( ) corrispondenti alle diverse combinazioni 
