— 313 — 
svolte risulta pure la via da seguire per la effettiva determinazione di questi sistemi 
nel caso che le condizioni stesse siano soddisfatte. In particolare si ha che 
« Se la equazione algebrica caratteristica della congruenza 4, nella varietà fon- 
« damentale ha tutte le radici eguali, la equazione (E) è tale che ogni suo integrale 
« fa parte di un sistema fondamentale di integrali ortogonali ». 
Indicando poi con 0, un integrale qualunque della equazione (E) e considerando 
assieme ad essa la equazione 
Dro df —0 » 
Cig 
si ottiene un sistema completo, che indicherò con S,. Se es è un integrale qualunque 
del sistema S,, è pure completo il sistema Ss, che si ottiene associando al sistema 
S, la equazione 
df 
n (0) e = 
di; 02 d. Lr 0 
Procedendo con analoghe considerazioni e determinando successivamente un integrale 
particolare qualunque per ciascuno dei sistemi completi S, , Ss , ... S,-s Si giunge alla 
determinazione di un sistema fondamentale ortogonale di integrali per la equazione (E). 
14. Sempre che la parola superficie si intenda nel senso attribuitole dal Poincaré, 
il problema dei sistemi ml di superficie ortogonali in una varietà ad 7 dimensioni 
comcide con quello, di cui mi sono occupato in questo paragrafo, se si suppone che 
le Z, siano proporzionali alle derivate di una funzione @ rispetto alle variabili indi- 
pendenti x,. Posto 
à, = ra Mor ’ 
si hanno allora le 
(ig = Mors + Us Or 
ed anche le 
Xys = Mors L3 (1, os + Ws 0r) - 
Si riconosce quindi facilmente che il sistema di equazioni (@,1I,II) del SII 
può essere sostituito dal sistema 
0 01 0° es°0 On 
€, Q1 + Can 012 + Caro « Cin + Can 
(P) 02 021 + Can 022 + Ca22 » Can + Co | 0 
On On + Can On2 + Cana Onn + ann 
Dai DAS) Os = (0) 
Dox® (or + dans) — uo, = 0 . 
Con facili trasformazioni, ricordando dal $ II che in questo caso le yu, quando 
CLASSE DI SCIENZE FIsIcHE ecc. — Memorie — Vol. II, Ser. 5°. 40 
