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gli indici & e % siano differenti l'uno dall'altro e da 7, sono tutte nulle, ed osser- 
vando ancora che le (3) del $ II dànno nel nostro caso 
DIA Ap? dx Ors = ONE 
si riconosce che le (A), (B) e (C) assumono rispettivamente la forma 
(A.) DI Lx AO OD org = 2 Seco ALP ID n erp dg 
(B.) ST, A; ® Ax dx 9 Oagrs =0 
(0,) Di LD DO h 0° (0073 1 049) =0 
Queste equazioni, che debbono essere soddisfatte nei casì stessi, in cui lo debbono 
le (A), (B) e (C), esprimono quindi le condizioni necessarie e sufficienti perchè il 
sistema di superficie di parametro o nella varietà g faccia parte di un sistema 7UPlo 
ortogonale. Esse sono di 3.° ordine e, se le radici della equazione (P) sono tutte 
(_-1)n_2)} 
2 Ù 
Sì osservi ancora che, dato un sistema di congruenze ortogonali, 21, 3 42r 3-- Znyr, 
e riferendoci alle notazioni del $ I, le condizioni necessarie e sufficienti perchè 
esista un sistema wmPlo ortogonale di superficie, le cui intersezioni ad 7 —1 ad a—1 
coincidano colle linee di quelle congruenze sono date dalle equazioni 
distinte, il loro numero, come risulta dalle cose esposte sopra, è 
Vihk =" 0 D 
nella quale (2 # X) è una disposizione semplice degli indici 1, 2,... 2 affatto qualunque. 
Esse ci dicono che il triedro T,;,, per uno spostamento del suo vertice lungo uno 
qualunque dei suoi spigoli ruota intorno ad un asse, che è situato nel piano degli 
altri due. 
Se si suppone 2 = 3 da questa osservazione, come ha notato il Beltrami, scende 
una dimostrazione cinematica assai semplice del teorema di Dupin: è però facile 
dedurne anche la dimostrazione del teorema più generale dovuto a Darboux. Siano 
Zar g,v due congruenze normali, e le linee 4,,, intersezioni dei due sistemi di su- 
perficie ortogonali alle linee di quelle congruenze siano linee di curvatura per le une 
e per le altre. Dal SI e dalla ipotesi fatta, secondo cui le 4,,, e le 4»), sono le 
traiettorie ortogonali di due sistemi di superficie, possiamo intanto concludere che 
si avranno le identità 
ae) 13250) (23188) 2130 
Poichè le linee 43,, sono linee di curvatura tanto per le superficie di traiettorie orto- 
gonali 4,,,, quanto per quelle di traiettorie ortogonali 4»,, è chiaro che, per uno 
spostamento infinitesimo lungo quelle linee, il triedro T,23 ruota in modo che restano 
fermi un punto della tangente alla linea 4,,, ed uno della tangente alla linea 42,,. 
Esso ruota dunque intorno alla retta, che congiunge questi due punti e però è nulla 
la y133 e quindi anche la y13» e la y39,; e la congruenza 43, è essa pure normale.. 
