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se ne deduce prima di tutto che le condizioni necessarie e sufficienti perchè la equa- 
zione (2) abbia le radici eguali sono rappresentate dalle equazioni 
(2) dia À, PI A 4; P,—w (rs — À, 2) ’ 
nelle quali © e le P, sono indeterminate, queste ultime però legate dalla relazione 
D_ 20 P,=0. 
Come si potrebbe dedurre dalle (2), e come risulta immediatamente dai teoremi 
dei $$ II e III, si può asserire che 
US 
LS 
CSI 
CS 
US 
US 
US 
n 
LS 
LS 
x 
US 
Ri 
CS 
US 
CSI 
US 
USI 
CS 
[SÌ 
« Data nello spazio piano a tre dimensioni una congruenza fondamentale 4,, e 
Ap, Zop essendo altre due congruenze formanti con essa un sistema ortogonale 
qualunque, se si assumono come sensi positivi delle rotazioni intorno alle tangenti 
alle linee Z,,. e Z>, quelli, pei quali occorre descrivere un angolo retto onde pas- 
sare dalle direzioni positive delle linee 43, e 41, a quella delle Z,, affinchè esi- 
stano infiniti sistemi di congruenze canonici ortogonali rispetto alla congruenza 
fondamentale e quindi questa possa in infiniti modi riguardarsi come risultante 
delle intersezioni di due sistemi ortogonali di superficie, è necessario e basta siano 
soddisfatte le seguenti condizioni: 
1.° « Che il triedro formato dalle tangenti alle linee delle tre congruenze 
considerate in uno stesso punto qualunque P per uno spostamento infinitesimo del 
suo vertice lungo le linee delle congruenze 4,/, e 4»/, subisca rotazioni eguali nei 
valori assoluti, ma di segni opposti, intorno agli assi, secondo i quali avvengono 
gli spostamenti ». 
2.° « Che siano in vece eguali la rotazione intorno alla tangente alla linea 4y/, 
dovuta ad uno spostamento del punto P lungo la linea Z,,,; e quella intorno alla 
tangente a quest'ultima linea dovuta ad uno spostamento dello stesso punto lungo 
la prima ». 
« Lo stesso teorema vale per una varietà fondamentale a tre dimensioni di na- 
tura qualunque, purchè essa sì consideri immersa in uno spazio piano S ed invece 
del triedro delle tangenti alle linee delle congruenze 4,,4,, e 4, si consideri 
quello delle tangenti alle proiezioni delle linee stesse nello spazio piano a tre di- 
mensioni determinato in S dalle tangenti a quelle linee in un punto qualunque P 
della varietà fondamentale ». 
16. Se le radici della equazione (£) sono distinte, le (1) si riducono facilmente 
alla forma 
(1°) Ò Aa pr dr js = Ars — 02 ds + Le A54-Q (40,0 dij — AJ daje) > 
facendo le posizioni 
(3) L,=0w,L, — 2P,; 
(4) 2//aQ = DI à, (441542 #3 à,+2r4+1) © 
Supporrò scelti gli indici delle 4,,. in modo che il determinante |4,,:| (il cui quadrato 
è 
a come risulta dalle (3') del $ I) riesca eguale al valore assoluto di ya. È fa- 
