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Derivando le (1') covariantemente secondo 4 e ponendo per brevità 
Prg = ay Axjs — Aes dir; 
dalle (1’) si trae la 
—d Do dajo (Arjorroro — daje sea) = pro Cprscir si AP ANAS 
=D DIP Tapi 3 Inp Corso) 
—Va(Dss 09 dada + Y,Q0 4, — Qog) 
Essendo poi, come è facile riconoscere, 
DU Vira) = 2/6 DI OR, 
DI, Le, = = 002: 
Dpr Uprissr 40 AP AMONG e dop (1) 
pr Ans (Aris+r +e pora)=i@ (7312 + Y123) 
avremo anche i i i 
— Intra) = La 440 (4 2P, — APP) 200 
e per le (1") e per le (4) 
va 
Va 
ziù Q Da af® (2 lo, + (2209) — SIE al À, À; — 4 M î pra N "i ; 
d° (Y312 + Y132) == DA ad (4541 A gs+2 "a As+9 9541) (0, + 2 Ps ITA 4 P, P.) 
Secondo il $ III l’annullarsi del primo membro di questa equazione dà la con- 
dizione necessaria e sufficiente per la esistenza di un sistema di integrali ortogonali 
della equazione (E) e però la condizione stessa può anche essere espressa dalla 
equazione 
1 
TE DIA aa (4641 Ags+2 —_ 4s+s Ags+1) (Cs + QPy—-4P, 186) == 
(2) E I dati 
Q Da at9 (2P, + ar) — Dr af9 7,4 + 4M iN da ; 
nella quale non apparisce più nè l’una, nè l’altra delle radici della equazione (2). 
In particolare, se le 4, sono proporzionali alle derivate di una funzione rispetto 
alle variabili indipendenti x,, si ha Q==0 e la equazione (£,) assume la forma 
(0°) DE a (59 hgs+o a As+a as+1) (28 + 2 BS — 4P, P.) — 0 
(1) I simboli «(9 hanno i significati dati loro nella Introduzione. 
