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Se le linee 4, sono geodetiche, le P, sono nulle e la equazione stessa diventa 
Na xs ta DI, GE (4541 Ras+o = ds42 Ul) + Q (GS sa ADS) i = N Te 4 MQ. 
a 
Nello spazio euclideo le @, sono nulle e però, se la congruenza 4, risulta di 
linee rette, la equazione (£,) diventa 
dO I, 
N i 4MQ. 
In generale le (£') assumono la forma 
(2) Nar al (4541 as+e == Uno 49541) (Bs —- 9 RA RS) == 0 é 
Sempre nella ipotesi che le 4, siano proporzionali alle derivate di una funzione @ 
rispetto alle variabili indipendenti 4,, posto 
ERE 
= Zia” 
avremo le 
Ày == Ho, 
(5) lira = Ho, + Ho,; . 
Si ponga ancora 
UsZ: d_.H© Ars s 
e si avrà 
Us+15+2 7 Us+as+a DI GO (0725 Hys4? _— dr549 His) 
(6) DI à; (41542 var USI) —è Va a Hrs (4541 Ags+2 Gre Asso 9541) Ù 
Ricordando le espressioni delle P, date dalle (8) del $ II, dalle (5) ricaviamo le 
2 15, = VOy + H x 49 Ors 3 
in cui si è posto 
de Dr ROM: 
e quindi successivamente le 
H,=vi,—-2HP, 
H,, = vs + v4,—2HP,,—-2vP,4+4HP,P;. 
La (6) assume quindi la forma 
Da ds (Wis+15+42 — U+2s43)) = — 2H Va A (P,, — 2 P, Ps) (As41 Zas+e — Zs+a Zgs41); 
e la equazione (£,) diviene 
DE As (Us+r sto — Usso sr) = 0. 
Nella ipotesi che «1 #2 #3 siano coordinate cartesiane ortogonali questa coincide colla 
equazione di condizione pei sistemi, che fanno parte di sistemi tripli ortogonali, sotto 
la forma datale da Weingarten. 
