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8 V. 
EQUAZIONI GENERALI DELLA TEORIA DELLE SUPERFICIE AD 7 DIMENSIONI. 
17. Parlando di superficie ad n dimensioni intenderò qui di parlare di quelle 
varietà ad % dimensioni, che sono contenute in una varietà euclidea ad 7 +1 di- 
mensioni. Da quanto fu dimostrato nella introduzione risulta che: 
1.° Affinchè una forma fondamentale ad x variabili 
e di Ars da, das 
rappresenti una superficie, è necessario e basta che si possa determinare una seconda 
forma 
x= ds br dar das, 
i cui coefficienti soddisfacciano insieme alle equazioni algebriche 
(G) Dps Dre — bpi brs == Apr,st 
ed alle equazioni simultanee a derivate parziali di 1.° ordine 
(C) Drse = Dyis - 
2.° Che per ogni forma x, la quale soddisfi alle equazioni (C) e (G), esiste 
una ed una sola superficie determinata di forma, ma libera di moversi comunque ri- 
gidamente nello spazio euclideo ad 7 + 1 dimensioni, per la quale g ci dà una espres- 
sione del quadrato del suo elemento lineare. 
« Le equazioni (G) e (C) tengono rispettivamente il posto della equazione di Gauss 
«e diquelle di Mainardi-Codazzi nella teoria delle superficie a due dimensioni e 
« possono riguardarsi come fondamentali nella teoria generale delle superficie ». 
18. Per trasformare le equazioni (C) e (G) si esprimano le d,s per gli elementi 
dei sistemi coordinati 4,,,, 42/7) +. Anjr di n congruenze di linee formanti un sistema 
ortogonale nella varietà fondamentale, cioè si pongano le 
(1) bs = DEI On Ànyr àrJs ’ 
e sì ricordino le (4) del $ I. Le equazioni (G) e (C) assumeranno rispettivamente 
le forme 
G' 
(G) px dij — Opj dig = NI ND SD ASD Groga 
don _ do; 
(0) de: ds) == da On (Ya — Yuzj) ìa DI (0;n Yan — dk Yrni) . 
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