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Una applicazione 
della teoria dei residui delle funzioni di variabile complessa. 
Memoria del Socio U. DINI 
letta nella seduta del 5 dicembre 1897. 
1. Nel vol. XXXII del Giornale di Crelle, Jacobi studiò l'integrale definito 
du dp : EE : 5 2 
J TESI p = Pang per valori complessi di A e B, e questo integrale giova 
moltissimo in varie teorie, fra le quali quella delle funzioni sferiche. 
Voglio ora mostrare come colla teoria dei residui si possono trovare alcuni in- 
tegrali che comprendono come caso particolare quello di Jacobi insieme a molti altri 
della teoria delle funzioni sferiche, e si possono studiare infinite funzioni speciali. 
Indichiamo perciò con u(<) una funzione di z uniforme nel campo C, e senza 
singolarità essenziali, e siano @,, @2,...,@, i suoi infinitesimi degli ordini w,,%2,..., &n 
che cadono in questo campo. Sia poi w(z) un'altra funzione di 4 uniforme entro C 
i cui punti singolari, se ne avrà, siano distinti dai punti @,,@,...,@, e possano 
anche essere singolarità essenziali ma isolate (!), e sia p un numero intero e posi- 
tivo qualsiasi. Avremo : 
pela LO pray, 
ari Jc (8)? 
(1) Osserviamo, per quanto possa anche apparire superfluo, che se <0(2) è una funzione uni- 
forme di 2 in un campo €, le cui singolarità sono soltanto poli o punti singolari essenziali isolati, 
negli intorni di questi punti non vi saranno altri punti singolari, e nessuno di essi sarà punto li- 
mite di punti singolari. Evidentemente dunque nel campo C se è finito, guando nel suo interno e 
sul contorno non vi siano altro che singolarità polari o essenziali isolate, il numero di queste sin- 
golarità sarà sempre finito, e lo stesso accadrà anche se il campo C sarà infinito quando il punto 
all'infinito non sia un punto singolare o in esso vi sia soltanto una delle singolarità anzidette. 
Oltre a ciò se a è un polo o un punto singolare essenziale isolato, lo sviluppo di Laurent per po- 
tenze intere positive o negative di # — a per la stessa funzione w(z) sarà valido in tutto un in- 
torno sufficientemente piccolo di a fuori che in questo punto, riducendosi la parte colle potenze 
negative a un polinomio nel caso dei poli, e restando una serie nel caso delle singolarità essenziali; 
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e l’integrale mr; fu dz esteso a un piccolo cerchio che abbia il centro in @ o anche a una pic- 
cola curva qualsiasi che di punti singolari nel suo interno abbia soltanto questo punto 4, sarà 
uguale al coefficiente di nel detto sviluppo, tanto nel caso dei poli che in quello dei punti 
singolari essenziali isolati; ed è per questo che in ogni caso questo coefficiente di Ta die detto 
residuo relativo al polo o punto singolare essenziale isolato 4. 
