— 504 — 
neppure conoscere quelle radici ma basta sapere che i loro moduli sono rispettiva- 
mente tutti superiori o tutti inferiori alla unità (!). 
In questi casi dunque basterà evidentemente bene spesso il conoscere i limiti 
superiori e inferiori dei moduli delle radici della equazione stessa (13) specialmente 
quando questi limiti siano molto vicini al massimo o al minimo di questi moduli, e 
gioveranno quindi molto i teoremi relativi ai limiti stessi. 
E così in particolare, siccome da un teorema su questi limiti che pubblicherò 
in un prossimo fascicolo degli Annali di Matematica, risulta che se indichiamo 
con do, 01,02... D'n è moduli dei coefficienti della equazione (13), allora quando si 
avrà D'' > +0 +-+ 20m, l'unità sarà un limite superiore dei moduli delle 
radici della stessa equazione, e quando si avrà invece Do + W1 ++ dana < dm 
l’unità sarà un limite inferiore dei moduli di queste radici, così si potrà senz’ altro 
asserire che se sarà 9 > 0 + 024 + dn varranno certamente le formole (14) o 
(17) e (18); e se sarà Do +04 + dine < 08m allora varrà la formola (15) nella 
quale p, come abbiamo osservato, potrà supporsi qualsiasi e anche complesso, ecc. 
8. Quando poi queste condizioni non risultino soddisfatte, allora se altre parti- 
colarità non permetteranno subito di dire quali delle formole del $ 6 siano da ap- 
plicarsi, converrà fare studî speciali sulla equazione in y «;(y)="0, per conoscere 
se le sue radici siano tutte comprese nel cerchio di raggio uno, o siano fuori di questo 
cerchio, o parte siano dentro e parte fuori, escludendo sempre che ve ne siano sul 
cerchio quando non si sia nel caso della formola (15) ecc. 
Questi studî si faranno con processi che varieranno a seconda del grado e della 
forma della equazione stessa in y «;(y)= 0, sia esaminando i valori delle sue ra- 
dici quando si abbiano le formole che le determinano, sia ponendo y= x +%y, 
u(Y)=P+4?Q, e cercando i punti d'intersezione entro il cerchio di raggio uno 
delle due curve algebriche P:=0, Q=0, o cercando col teorema di Cauchy le 
radici di ;(y)==0 entro lo stesso cerchio, o anche ponendo y = ee'?, e con elimi- 
nazioni successive delle potenze di @ fra le equazioni corrispondenti P—=0, Q=0 
giungendo alla equazione che contiene soltànto 4, e che in conseguenza determinerà 
i valori degli argomenti delle varie radici di v,(y) = 0, e a quella di 1° grado in 
(1) Questi risultati sono anche conseguenza della seguente considerazione generale. 
1 277 
Quando si ha un integrale della forma DE [ f(eî°) dp, o che possa ridursi a questo, esso 
TI 
2/0 
È 1 (2) RNA: 2 peso 
sarà evidentemente uguale all’ altro di LO esteso al cerchio di raggio uno, e quindi se nel- 
E: 
l’interno di questo cerchio la funzione /(z) verrà ad essere uniforme e avrà soltanto singolarità 
polari o singolarità essenziali isolate, senza avere singolarità sul cerchio, l'integrale dato sarà 
uguale alla somma dei residui di de. relativi ai punti singolari che cadranno entro il cerchio; e 
per considerazioni simili a quelle fatte nel $ 2 si vede che lo stesso avverrà anche quando vi siano 
punti singolari sul cerchio, purchè questi punti corrispondano a punti nei quali essa è finita, v se 
diviene infinita lo diviene d’ordine logaritmico, o anche d’ordine finito reale o complesso ma la 
cui parte reale se è positiva sia inferiore ad uno, ecc. Lo studio quindi dell’integrale dato dipen- 
£(2) 
derà dalla ricerca dei punti singolari di —- nel cerchio di raggio uno, ecc. 
z 
