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sen2%X, = 0 ogni studio si ridurrà sempre ancora a quello della quantità (29) pre- 
cisamente come nel caso di sen 2%, diverso da zero; e solo quando 27 sia un mul- 
tiplo pari di 77 e @f sen(d —y) sia zero, o anche (il che torna lo stesso) quando sia 
asen(y—u)==0 e fsenld—u)= 0, nel qual caso la espressione (29) diviene zero, 
se si avrà la condizione 4° > a? + #? le radici della solita equazione (18) cadranno 
ancora una dentro e l’altra fuori del cerchio di raggio uno, mentre se sarà 7° = a® +- 8° 
esse cadranno ambedue sul cerchio e saranno inoltre uguali fra loro. E queste ra- 
dici, come già osservammo, saranno pure uguali ma cadranno nell’ interno del cerchio 
anche quando, essendo 27 multiplo pari di 77, «8 sen (0 — y) non sia zero, e si abbia 
405 d'a, ovvero A.=|/(a° + °° — 4a? 8° sen? (8— 7). 
Infine se sarà d2,1=0 e quindi 4=0, avremo pure (come vedemmo nella nota 
f i /aF4-p*—2agsen(d—7) 
del $8) sen 2X,=0 e 0,=02= VE. OVVero 0, = 02 = {ET iene) 3 
e così in questo caso se «8 sen (9 — y) sarà diverso da zero, con che la (29) sarà 
positiva, le due radici della equazione (18) cadranno ambedue dentro il cerchio di 
raggio uno, e se sarà invece af sen (09 —y)=0, con che anche la (29) sarà zero, 
cadranno ambedue sul cerchio, ma saranno sempre distinte fra loro; supponendo 
sempre naturalmente che non sia anche ds = 0. 
Si aggiunga che nel caso che sen (0 —y) fosse negativo basta cambiare, come 
già notammo, 9, in — q1 0 d ind +7 per rientrare nel caso di sen(d —y) posi- 
tivo, e ciò senza che si alteri il valore del nostro integrale, perchè un tale cambia- 
mento equivale a quello di 9 in 27 — g. Ma d'altra parte il cambiamento del segno 
di g,.0 quello di dò in d -- 77 non fa mutare la espressione (29) nè i valori di sen 27 
e sen 2X,; ma però fa sì che la equazione (19) si trasformi in quella che ha per 
radici le inverse delle radici della primitiva, per cui se di queste radici una sarà 
dentro e l’altra fuori del cerchio avverrà lo stesso anche dopo l' indicato cambia- 
mento, mentre se esse saranno ambedue dentro il cerchio quel cambiamento le farà 
passare ambedue fuori, e se saranno sul cerchio vi rimarranno ancora; dunque rias- 
sumendo si può ora concludere che qualunque siano pi, 21 € 9a; per decidere della 
posizione delle radici della equazione (19), rispetto al cerchio di raggio uno biso- 
gnerà sempre prendere a studiare la espressione (29), cioè: 
(31) a? 8° sen° (Î — y) — a° 4° sen° (yY — u) — £° 4° sen? (d — u); 
e se questa risulterà positiva le due radici cadranno sempre ambedue nell’interno 0 
ambedue all’esterno del cerchio secondochè sen (9 —y) risulterà positiva o negativa, 
e oltre a ciò in questo caso esse risulteranno anche uguali se oltre ad essere 27 un 
multiplo pari di 7 0 cos 2r=1, si avrà 7° — Y/(a? + p°)} — 4a? 8° sen? (d— 7); 
se la stessa espressione (31) risulterà negativa e @8sen(0 —y) non sarà zero, 
le radici cadranno una dentro e una fuori del cerchio; e infine nel caso che questa 
quantità (31) sia zero, allora se «8 sen (0 —y) sarà pure zero (ciò che porterà che 
anche gli altri due termini della (31) siano nulli), e se al tempo stesso sarà 
4° > e° 4 8° le due radici cadranno ancora una fuori e l’altra dentro il cerchio; 
mentre negli altri casi una almeno delle stesse radici cadrà sul cerchio. E propria- 
mente quando la stessa quantità (31) sia zero, e lo sia anche il suo primo termine 
