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Ora supponendo in particolare che p, e 91 siano ambedue reali, o siano ambedue 
puramente immaginarî, cioè, con po=4+ dd’, sia p.=d, q=€, 0 pi=%', 
q,=="dc', allora osservando che la espressione (36) si riduce rispettivamente alle 
seguenti — a'°(0° + e°), — a°(0"2 + c'*) che sono zero quando a = 0, 0a4=0 e fuori 
di questi casi sono negative (perchè si escludono naturalmente i casi di p, = q,="0), 
si vede subito che « quando p, e 9, siano le quantità reali 4 e €, se po sarà complesso, 
«0 se essendo un numero reale a si avrà a° > 5° + c*, allora saremo nel caso delle 
« condizioni (A), e quindi sussisteranno sempre le formole (62), (63) e le altre più 
« particolari (68) nelle quali r, sarà il radicale J/a? — a? — 8? preso nel modo sopra 
« indicato ». 
E similmente « quando p; e 91 siano le quantità puramente immaginarie dd’, e de’, 
« Se po avrà la parte reale diversa da zero, o se, essendo un numero puramente im- 
« maginario 2a’, sarà a? > d'* + ce'*, allora saremo ancora nel caso delle condizioni (A) 
« e sussisteranno sempre le stesse formole (62), (63) e (68), nelle quali 7, sarà il 
« radicale Y/po + a? + 8? preso nel modo sopra indicato » di guisa che se po sarà 
un numero reale e positivo @ (a > 0) 7, verrà ad essere il valore positivo del radi- 
cale (reale) Y/a2 + a? + d'* e potrà quindi considerarsi sempre come la distanza fra 
due punti. E così in questo caso le stesse formole (62), (63) e (68) daranno alcune 
funzioni di potenze della distanza 7, di due punti espresse per un integrale definito; 
e in particolare la prima delle (68) ci darà le espressioni per un integrale definito 
delle potenze dispari della inversa È di quella distanza. 
1 
E infine « se con p: e q1 reali e uguali a d e c, po sarà esso pure reale e uguale 
ad a e si avrà a° =b*-+-c° (con che non si esclude ora che possa anche essere 
a=0 e quindi p, = 0), o se essendo p, e 9, le quantità puramente immaginarie 
id, e îc' anche p, sarà un numero puramente immaginario za’ e si avrà 4? = 0° + e?, 
allora saremo nel caso delle condizioni (C) e si avranno le formole (65), (66) e (67), 
nelle prime delle quali, cioè nelle (65), il p invece di essere intero e positivo, 0 
nullo, come negli altri casi, potrà essere un numero reale o complesso che soddisfi 
‘alle condizioni poste nel $ 11 per la formola (41), cioè un numero tale che esso 
stesso se è reale, o la sua parte reale se è complessa, sia una quantità negativa 
che per a < 5° + e® 0 a? <b'? + ce? può essere qualsiasi, e per a® = 9° + e?, 
Ca 
USI 
r 
& 
CS 
CSI 
» 
US 
x 
«0 a?=b?-+c? deve essere inferiore a o In questi casi però i valori dei 
logaritmi, o quelli delle varie potenze che figurano nelle nostre formole quando p non 
è intero devono essere fissati convenientemente in un punto. 
19. Consideriamo ora in modo speciale il caso in cui, ammettendo ancora in modo 
generale che po, 21, 72 possano essere reali o complesse, si suppone che soddisfino 
alla condizione pè — pi — ff = 1. 
Allora osservando che con pì, =@+ d si ha sempre > Vip = pi— E = 
e e pr ; 
mne PERI — pià — © . si vedrà che nelle nostre formole dovremo prendere 
r,=1,07,=—1 secondochè la parte reale a di po è positiva o negativa; e 
quindi supponendola positiva noi prenderemo 7, = 1. 
