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Ora fermandoci dapprima sulla terza delle (68) e ricordando le formole che danno 
le espressioni della funzione di Legendre X,(4) per potenze di 1— o di sen n quando, 
come si usa, sia fatto 2 = cos y, si vedrà che per 7,=="1 il secondo membro della 
formola indicata non è altro che X,(po); dunque si può dire evidentemente che quando 
Pos Pi 4 Siano quantità reali o complesse tali che si abbia poi — pi —n°î= 1, 
e in po la parte reale sia diversa da zero e positiva, e oltre a ciò siano soddisfatte 
le solite condizioni (A), allora avremo la formola: 
(71) ves Teri 
2rrSo (Po + Pi 08 f + 41 sen g)?+? ° 
che generalizza una formola nota delle funzioni X,. 
In particolare dunque ponendo in questa formola p, = #, con # reale 0 complesso, 
e colla parte reale diversa da zero e positiva, e prendendo p,=/a® — 1 c08 g1, 
q,==Va*— 1 sen g;, con 9, costante reale qualsiasi, avremo la formola : 
dy 
tao 
(72) X(%) Fs Sl [a DE Va? _ 1 cos (g — pi) Je 
che è quella nota che risulta così dimostrata per tutti i valori di x pei quali siano 
soddisfatte le condizioni (A). 
Ora se x è una quantità reale diversa da zero e positiva si ricade evidentemente 
nei casi considerati nel paragrafo precedente, e le condizioni (A) sono soddisfatte ; e 
se x è complesso, osservando che le tre quantità de — de, ab — a'd, ac — ac 
che figurano nella espressione (36) delle condizioni (A) vengono a comparire nei nu- 
meratori dei coefficienti dell'immaginario nei rapporti 3: ; Pi 5 da , e questi rapporti 
1 
Po Po 
nel caso nostro prendono la forma 
1 1 
tg 1 ito, its, 
per modo che il primo è reale, e gli altri due sono complessi e uno almeno di questi 
non è zero, si vede che nella espressione (36) il primo termine è zero e degli altri 
due uno almeno è diverso da zero, e quindi la espressione stessa è negativa ; dunque 
evidentemente le condizioni. (A) sono sempre soddisfatte, e la formola (72) resta così 
dimostrata in modo semplicissimo per qualunque valore reale o complesso di # la cui . 
parte reale sia diversa da zero e positiva. 
20. La formola (72) che è quella che si dà nei trattati di funzioni sferiche non 
è però la più generale fra quelle cui dà luogo la (71), perchè per giungervi noi ab- 
biamo posto la condizione che %, sia reale. 
Noi troveremo ora quella espressione più generale; ma lo faremo trattando non 
solo il caso della terza delle formole (68) ma quello di tutte le altre formole, cer- 
