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e il quadrato del coefficiente di cos(g — w) è: 
F(6) 
a 3° 
a— a°-142iaa0' —(a°+-1—#)sen(fD—-w)=(a+<a)} 14 
si troverà anche: 
(81) 4gp=a-+ id +V(a Fia} —14A cosp— w)— ei /Asen(p— Wo), 
dove e è 1 o — 1 secondo che sen(w —%w;) è positivo o negativo e i radicali sono 
presi positivamente nel caso che siano reali, e presi in modo che la loro parte reale 
F(4) 
PP 
sendo F() il primo membro della equazione (80); e è un numero qualsiasi com- 
preso fra 0 e £o (0 escl. e #, incl.), essendo 4 la radice fra 0 e 1 della stessa equa- 
zione (80). 
Questa espressione (81) dà la forma più generale che possa aversi per 4g quando, 
come ora è supposto, a" non è zero, per il chè non può essere mai £#= 0. 
Supponendo poi che 4’ sia zero, si può osservare che allora la forma generale 
di A si riduce a 1— #? e quindi la espressione (81) si riduce alla (78) che è pure 
stata dimostrata rigorosamente, e che viene anche dalla (79) per @' = 0 perchè allora 
sia positiva se sono complessi: yw, resta completamente arbitrario e A = es- 
la (77) porta Wi= 25; ot=apera>l,0t#=1 per a= 1. Questa (78) poi 
vale anche in questi casi limiti di {= a peora<1l,e= 1pera= 1 perchè allora 
si riduce alla (76); quindi poichè questi valori limiti a e 1 di # sono ancora le ra- 
dici #, della (80) per a' == 0 appunto pera < 1, e a = 1 rispettivamente, si potrà ora 
senz'altro affermare che la espressione (81) di 4g è la più generale che possa aversi 
quando insieme alla condizione po — pià — i = 1 devono essere soddisfatte le con- 
dizioni (A), e ciò qualunque sia il valore reale o complesso a + da’ di po che può 
anche considerarsi come una variabile 7, purchè la sua parte reale 4 sia diversa da 
zero e positiva. 
E con questa espressione di 4 sviluppando cos (pg — vw) e sen(g — vo), si tro- 
vano subito i valori delle quantità indicate in tutto quello che precede con pi e g,, e si 
ha quindi con ppr= a+, pi # in = {W(a ia} 14 A eV/A} e #iVo, con 
chè si vengono ad avere tutti gli elementi necessarî per le sostituzioni da farsi nei 
secondi membri delle nostre formole. 
Ed è degno di nota che quando # ha il valore particolare limite 4 radice della 
equazione (80), allora siccome viene ad essere A=0, sì il 4g che gli elementi 
pP.® y, che figurano nelle nostre formole sono funzioni di po soltanto, e il 4g si 
riduce alla forma (76) che per quanto io sappia era la sola che venisse considerata 
nelle formole delle funzioni di Legendre Xp(a + a’), e che viene così ad essere quella 
espressione particolare che corrisponde al detto valore limite £ di #. 
22. È ora il caso di fare la seguente osservazione generale. 
Nei secondi membri delle formole (62) del $ 16, pel caso di pé—p?—- = 1, 
e delle condizioni (A), come in questo stesso caso nelle (63) quando però in queste 
