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sia fatto 7, = —1, vengono a figurare soltanto funzioni intere P,,, e Q,p della 
sola po (poichè anche p,° + q1° = po? — 1) divise per potenze di p, + 7910 P1 + é41; 
e queste potenze mancano affatto nel caso di v = p nella prima delle (62) che, come 
già dicemmo, corrisponde alla funzione di Legendre X,( po). 
Ne segue che variando nella espressione (81) di 4g il parametro # entro i limiti 
0 e £ che sopra indicammo, e variando arbitrariamente il Y,, per uno stesso valore 
di a+ o di p considerata come una variabile reale o complessa # la cui parte 
reale a sia diversa da zero e positiva, le funzioni P,,p e Qy non mutano, e di esse 
vengono così ad aversi infinite rappresentazioni per mezzo d'integrali definiti della 
forma: 
1 Je On dp 1 05 2% dg 
ES RD EE, = CORTO EE 
(82) 277 a Gi [G240) a 015 € (4g)2+1 ° 
nei quali 4g ha la espressione (81) che muta al mutare di # e di y, nel modo 
indicato, moltiplicati questi integrali per le potenze (pi — dn)”, (pi + dga)"t2+? 
rispettivamente. 
In particolare sì ha sempre per v=p: 
27 
(83) xo(@ le) | 
dove 4g ha la forma generale (81). 
Ora in queste rappresentazioni delle nostre funzioni P,,p, Qvp per mezzo degli 
integrali definiti (82) la variabile 7. o «+4 %a' può essere presa comunque nel 
mezzo piano a destra dell'asse delle quantità immaginarie (quest’asse escl.), e per 
ogni valore di x i risultati precedenti ci danno i limiti 0 e # (0 escl.) fra i quali 
dovrà essere preso il # perchè le rappresentazioni corrispondenti delle dette funzioni 
siano giuste. 
Viceversa quando, invece di essere dato 7, sia dato il £ fra 0 e 1, cioè sia data 
la forma degli integrali definiti coi quali si vogliono rappresentare le dette funzioni, 
bisognerà prendere convenientemente i valori di a e 4 (0 di x) perchè questi inte- 
grali possano effettivamente rappresentarla; ‘cioè bisognerà prendere in modo conve- 
veniente il campo di variabilità di 2 =: $È + 27 a destra dell’ asse delle quantità im- 
maginarie 7 (quest'asse escl.) per ogni valore speciale 7 che si prenda per 4 fra 0 
e.l (0 escl.). 
Ora evidentemente questi valori di 4 e a' pel valore che si sceglierà 7 del para- 
metro £ saranno tutti e soltanto quelli pei quali si avrà F(7) = 0, ovvero a°(1 — 2°) — 
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— a'"n° > a°(1— 2?) 0 anche rit Ten 1; donde apparisce che il punto (a, a’) 
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dovrà cadere nel campo a destra del ramo dell’iperbola E = I Gio È 
dalla parte delle £ positive o sul ramo stesso; dunque si può evidentemente affer- 
mare che per ogni valore speciale 7 di £ fra 0 e 1 (0 escl.) il campo di validità 
delle espressioni delle funzioni P,.p(x), Q.»(7) per mezzo degli integrali definiti (82) 
corrispondenti a quel valore 7 di # sarà la porzione di piano che è a destra del 
