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Ri E? n? 
ramo dell’iperbola ib i = FD 
questo ramo, escluso però il punto x = 0 nel caso di 7==1. 
Ne segue che impiccolendo il # e avvicinandolo indefinitamente a zero, senza 
però farlo mai uguale allo zero, il campo di validità per # della rappresentabilità 
corrispondente della nostra funzione P,,,(7) e Qy,p(4) s'ingrandisce sempre e tende 
a diventare il mezzo piano a destra dell'asse delle 7 (questo asse escluso), e quindi 
i limiti degli integrali (82) per #=0 moltiplicati pei limiti di (p, — éqg.)?7? e 
(pitig.)*2+!, cioè per le quantità [(— 1)" (a+ ia) +(—1)'a]”"72 e-i0-D%, 
e [(—1)(a-+ia) —(—1)'a]ptrt eî0+2+b%, serviranno a rappresentare le nostre 
funzioni P,,p(2), Qy,p(7) in tutto il mezzo piano stesso, l’asse # sempre escluso; e 
così in particolare si avrà la formola : 
= 1 che si trova dalla parte delle £ positive, e su 
(84)  Xp(a+ ia')= = Lim f” —.i 
che varrà per qualunque valore diverso da zero e positivo di « e qualunque sia 4’. 
Notiamo esplicitamente che in questi integrali mentre si può parlare, come ab- 
biamo fatto, dei loro limiti per £#=0 non si potrebbe affatto parlare dei loro valori 
per t= 0, i quali finchè p è intiero e positivo o nullo sono infiniti. E del resto per 
t=0 invece delle condizioni (A) si hanno, come già dicemmo, le condizioni (C). 
Ed è da notare pure che in tutte le condizioni che qui si hanno, come nei 
campi di validità che abbiamo trovato per la variabile x in corrispondenza ad ogni 
valore speciale 7 di £, non influiscono affatto i valori di v e di p pei quali si ha 
soltanto la condizione che siano interi e positivi o nulli. 
23. Restano ora a studiarsi i casi 2) e e) del $ 20 e il loro studio si farà con 
un processo simile a quello testè tenuto pel caso a). 
Osserveremo intanto che in questi casi, dovendo aversi le condizioni (73), e 
con a? — b® — c®* = È dovendo essere È <= do o Éé>1, se si porrà É= x #° avremo 
le due: i 
(85) P+Le=dtt, D+e=a+1+?, 
e in queste nel caso del segno superiore di #* che corrisponde a quello di £ = 0 il 4 
potrà avere qualsiasi valore positivo o nullo; e nel caso del segno inferiore di #* che 
corrisponde a quello di é£ > 1, il # dovrà essere positivo e superiore ad uno; per modo 
che in quest’ ultimo caso dovrà essere evidentemente a=> > 1, a? => #—150. 
Ponendo ora per semplicizzare a? ©? = d*, a?°4+1=°=d" e intendendo 
che d e d' siano presi positivi o nulli, si soddisfarà alle condizioni precedenti (85) col 
porre: 
b—=d cos, bd cos, 
(5) ec-='disenWh, ci =0d sen. 
e da queste a causa della seconda delle (73) si avrà la formola: 
(87) dd' cos(fo — Wi) = 40; 
