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Sulla curva gobba razionale del quint' ordine. 
Memoria del prof. L. BERZOLARI. 
La curva gobba razionale del quint’ ordine è stata finora poco studiata: nel 
5° Capitolo delle Syn/hetische Untersuchungen ber Fliichen dritter Ordnung (Leipzig, 
1867) il sig. R. Sturm, esaminando i diversi modi in cui può spezzarsi l'intersezione 
di due superficie cubiche, ha per primo assegnato alcune notevoli proprietà, relative 
alle trisecanti ed alla quadrisecante della curva. Tali proprietà, insieme con altre, 
concernenti specialmente le coniche appoggiate alla quintica in cinque punti, furono 
poi dimostrate nuovamente in modo diretto dal sig. Bertini (*), il lavoro del quale, 
come quello del sig. Sturm, è di pura geometria. In seguito, per quanto mi consta, 
si è occupato dello stesso argomento, ma con metodo analitico e con indirizzo affatto 
differente, soltanto il sig. Stahl, il quale in alcuni paragrafi della Memoria Veber 
die Fundamentalinvolutionen auf rationalen Curven (Giornale di Crelle, Bd. 104, 
1888, $$ 32, 3°, 3°, 3%) ha dimostrato parecchi eleganti teoremi, che nascono dalla 
considerazione delle curve osculanti e di una certa involuzione del 5° ordine segnata 
sulla curva, e da lui chiamata fondamentale. 
Il presente lavoro si collega sopratutto con queste ricerche del sig. Stahl, ed è 
diviso in due parti. La prima, in cui ho seguito lo stesso metodo già adoperato in 
un mio precedente lavoro (*), si fonda sulla considerazione dei combinanti elemen- 
tari della curva: ho trovato che essi sono in numero di undici, ed ho stabilito tutte 
le relazioni a cui devono identicamente soddisfare quelli che appartengono ad una 
medesima specie, insieme con alcune che hanno luogo fra combinanti di specie diversa. 
Ho inoltre assegnato il significato geometrico dei combinanti stessi e di alcune loro 
spinte, determinando, in particolare, i covarianti che si riferiscono ad alcune fra le 
più semplici singolarità della curva. 
Sono poi anche pervenuto, per una via che mi sembra notevole, alla cubica gobba 
che il sig. Stahl, con altro metodo, ha dimostrato essere luogo dei vertici degli co! 
pentagoni determinati dalle prime osculanti dei punti dei vari gruppi dell’ involu- 
zione fondamentale, ed ho stabilita l'equazione del tessuto di quadriche (/dehenscehaar- 
schaar sweiter Klasse), di cui il sig. Stahl (1. c., $ 3°) ha assegnato notevolissime 
proprietà. Da ultimo ho trovato alcuni teoremi relativi a quell’ involuzione di 5° ordine 
(1) Sulle curve gobbe razionali del 5° ordine (Collectanea Math. in mem. D. Chelini, 1881). 
(2) Sui combinanti dei sistemi di forme binarie ecc. (Annali di Matem., Serie 22, t. XX, 1892), 
CLASSE DI ScIENZE FISICHE ecc. — MemorIE — Vol. VII, Ser. 42, 39 
