Sulle espressioni invariabili. 
Memoria del prof. ERNESTO PADOVA 
Allorquando si ha una forma differenziale quadratica g =, @sdx,dxs la quale, 
col sostituire alle x variabili , altre % variabili 4, diventa (g)=s(4,) d2,dx's, 
‘ogni espressione formata colle 4, e colle loro derivate, la quale in seguito alla sosti- 
tuzione si cangia in una espressione formata analogamente coi coefficienti (4,:) e colle 
loro derivate rapporto alle 4°, è stata dal Beltrami (!) chiamata assoluta. Se la sosti- 
tuzione ora accennata cangia le funzioni qualsiansi U, V,.... delle + nelle altre (U), 
(V), ....., un'espressione formata colle 4,s, U, V, .... e colle loro derivate rapporto alle x, 
è dallo stesso autore detta 2uvarzabile quando, per questo cangiamento di variabili, 
essa si trasforma in una espressione formata analogamente colle (4,:), (VU), (V), .... e 
colle loro derivate rapporto alle °. Adotteremo queste denominazioni nella presente 
Memoria. 
È noto quanto sia grande nell’ analisi l' importanza della espressione invaria- 
bile comunemente conosciuta sotto il nome di parametro differenziale del secondo ordine: 
le belle e recenti ricerche del mio amico e collega G. Ricci {?) hanno messo in evi- 
denza come, oltre all’ ordinario parametro 4, U, quando U dipenda da 7 variabili, si 
possano costruire altre n—1 espressioni invariabili, che contengano le derivate seconde 
della funzione U al 2°, 3°,.....° grado rispettivamente. La dimostrazione del Ricci 
fondata sopra concetti puramente algebrici è semplice ed elegante, ma conduce a 
trovare quelle espressioni sotto una forma, che, quando a certi simboli introdotti 
dall’ autore si sostituiscono i loro valori in funzione delle derivate seconde di U, 
perde assai della sua semplicità e non presenta un vantaggio, che si ha nella forma 
sotto la quale ordinariamente si considera il 4, U. Voglio dire che non è al pari di 
questo, astrazione fatta da un fattore comune (che è l’ inversa della radice quadrata 
del discriminante della forma g), una somma di derivate prime di espressioni for- 
mate colle derivate di U. Ho per ciò cercato di trovare per altra via delle espressioni 
invariabili e sono pervenuto ad un metodo che permette di costruirne, in modo abba- 
stanza semplice, altre di forma assai diversa da quelle del Ricci e che godono la ora 
accennata proprietà. Queste nuove espressioni invariabili in aleuni casi soltanto, coin- 
cidono coi parametri differenziali trovati dal Ricci. 
Mi sia concesso, per esporre brevemente il metodo da me tenuto, di adottare, par- 
(1) Ricerche di analisi applicata alla Geometria. — Giornale di Matematiche di Battaglini, 
vol. II, pag. 355. 
(®) Sui parametri c.gli invarianti delle forme quadratiche differenziali. Annali di Matema- 
tica pura ed applicata, serie 2%, tomo XIV, 
