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lando di integrazioni multiple, la ormai generalmente accettata estensione della fra- 
seologia propria delle figure che esistono nello spazio. Ecco in cosa esso consiste. Se 
F è una espressione invariabile in uno spazio ad x dimensioni, ove il quadrato del- 
l’ elemento lineare è rappresentato da g=3,4,:dx,dx,, la quale oltre ai coeffi- 
cienti 4, contiene la variabile dipendente U,e se l’ integrale fFdS,-, esteso ad un 
campo ad 2—1 dimensioni, che forma il contorno completo di uno spazio ad 7 di- 
mensioni, può trasformarsi, adottando variabili generali, e qualunque sia la forma del 
campo S,_,, in un integrale (F,4S,, esteso al campo ad 7 dimensioni limitato da, 
Sa, la F, sarà anch'essa una espressione invariabile. Ed infatti, se alle variabili , 
si sostituiscono 2 nuove variabili indipendenti generali 4", la F si cangierà in una 
funzione (F) formata colle (4,:), (U) e colle loro derivate come la F lo era colle 4,, 
U e loro derivate; trasformando l’ integrale f(1)dS,-1, esteso al medesimo campo 
Sr, in f(F.) dS, al modo stesso col quale si trasforma fFdS,-, in SF,dS, stante 
l’arbitrarietà del campo d'integrazione, (F;) sarà uguale ad F,, e le due funzioni 
avranno identica forma, quindi la F, sarà una espressione invariabile. 
Le espressioni invariabili che così si trovano sono intimamente collegate con quelle . 
che danno la somma delle inverse e le somme dei prodotti due a due, tre a tre,.... 
delle inverse dei raggi di curvatura principali di un campo ad #—1 dimensioni situato 
in un campo piano ad 7, dimensioni, ho per ciò premesso in un primo paragrafo alcune 
considerazioni sui raggi di curvatura. In una prima formula ho esteso una relazione 
data da Lamé per le superficie del nostro spazio, estensione che non so sia stata ancor 
fatta; in una seconda ho espresso la somma dei prodotti due a due delle inverse dei 
raggi di curvatura per mezzo di parametri differenziali di quella funzione, che ugua- 
gliata ad una costante rappresenta l' equazione della superficie, ed ho per ultimo indi- 
cata la via colla quale si perverrebbe ad analoghe formule per le somme dei pro- 
dotti 3 a 3, 4 2 4,..... delle inverse dei raggi di curvatura. 
Nel S II ho dato delle espressioni invariabili del secondo ordine, scopo principale 
di questa ricerca, ed ho mostrato nel S III come si potrebbero costruire espressioni 
invariabili di ordine superiore. Nell’ ultimo $ ho indicato alcune formule integrali, che 
si deducono dai teoremi esposti nei SS precedenti. 
SI. 
1. Gli x raggi principali di curvatura di una superficie S, ad 7 dimensioni, situata 
in uno spazio piano od euclideo ad z-|-1 dimensioni, sono radici della equazione (') 
dn) E) L() 
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(1) Vedasi G. Ricci, Princip? di una teoria delle forme differenziali quadratiche. Annali di 
Matematica, serie 2, tomo. XII. 
