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col loro rispettivo segno, per cui una parte dello sviluppo del secondo membro sarà 
pi PI 
E XYAT Ai, eee AL . DIA Noa AMINA? 
E (ZNO)R @ Dv (AU) 
e l'ultima somma si estende a tutte le combinazioni dei numeri 1,2, ....,72-+1 presi 
ad 7 ad 7, e poichè il campo ad #1 dimensioni delle variabili y è piano, questa 
somma è appunto il parametro differenziale di secondo ordine e di grado 7° che il Ricci 
denota con 43, U. Donde si vede la importanza che questi parametri hanno nella 
teoria della curvatura. 
DD 
TÀ 
SMD 
1. Dalla Zeorica generale dei parametri differenziali del prof. E. Beltrami, 
prendiamo questa formula fondamentale ($ 4 (7)) 
dU Il DS d Visa 
= (fr = de IZ » Ur Sa.9 
(1) Sv E dSn, Va dI (Val. Vi.) 
nella quale il secondo integrale è esteso al campo ad x dimensioni intieramente limi- 
tato dal campo ad n—1, cui viene esteso il primo integrale; p è la normale alla 
superficie S,-1, diretta verso l'interno ed è 
Up= I | 
dys 
se il quadrato dell'elemento lineare in S, è dato da 
 dst= Za, dy,r dys 
e crs ha il significato attribuitogli nel S I. Le funzioni che entrano in questa formula 
sono però soggette alla condizione di essere monodrome, finite e continue esse e le 
loro derivate fino all'ordine che occorre considerare. È valendoci di questa formula 
e del ragionamento già svolto nella introduzione che determineremo le nostre espres- 
sioni invariabili. 
2. La derivata di una funzione rispetto alla normale ad uno spazio è una espres- 
sione invariabile, perchè (Beltrami, Mem. citata, $ 3 (10 bis)) si ha 
dU VUV 
do a VAN. 
se V= cost è l'equazione dello spazio cui è normale la p e YUV designa il para- 
metro differenziale ‘misto del primo ordine delle due funzioni U e V. Si è preso nel 
secondo membro il segno — perchè si suppone che V cresca andando dall' interno al- 
l'esterno del campo S,. Quindi facendo V=1 noi abbiamo sotto il segno integrale 
del secondo membro della (1) l' O 
3 ao 
che non è altro che l’ ordinario a differenziale del 2° ordine /,,,U, la cui 
invariabilità resta così dimostrata nel modo più semplice. 
