Lore 
questa equazione dopo qualche riduzione darà 
(2) Jo=24x0U 4 Smin U; Un Com [amari — dti + Ssj 635 (Umss Uirj — Ui,j Umr,s) ] 
4 ZU, Um [cm + Zemicy(dirg + di) ] 
— SU; Unn [ che + Seme ey (074 + 450) ] 
ossia, ponendo 
L na 
Umint = Umr,i — mi; + Si Csj (dmss Uir.j 7 Urm;s ditj) 
s) 
ed osservando che le ultime due somme del secondo membro della (2') sono nulle, 
si ha 
(3 To > 243,9 U + Zrtmi Cim Ami,rl U; Ur . 
4. Si può dimostrare che la funzione, che deve aggiungersi al parametro 43,3 U 
per ottenere la nostra espressione è essa stessa una espressione invariabile, donde 
resulta la invariabilità di 4, ,U. Infatti dalle formule trovate del Ricci si ha che 
indicando tra parentesi la espressione analoga alla generica funzione /, quando alle 
variabili 7 si sostituiscono altre variabili 4’, hanno luogo le relazioni 
Mm 
va 
Dì 4 
(Wp == Do (Up) do , (Giava) 23 Îipak Uin,gh Li Da Ch i 
(4) 
(44) Ra ti Za Gs Za (Cp9) 17 xs 
per cui sarà 
Zritm (Cm) (Gmi,r2), (U:) (U,) a Zitmuksj (Cm) Uns,kj do5; DA di Gi (U;) (U,) a 
== Înjrs Chj Uns,kj UU, 
come volevamo provare. i 
5. Le due funzioni Jo e 43,3 U divengono dunque identicamente fra loro uguali 
soltanto se si annullano i coefficienti @,,,,s e questa è la condizione necessaria e suf- 
ficiente affinchè la forma differenziale che rappresenta il quadrato dell'elemento lineare 
dello spazio S, possa ridursi ad una somma di x quadrati, ossia, adottando la locu- 
zione del Ricci affinchè la forma g sia di classe zero. Di questo teorema già noto (') 
darò qui una semplicissima dimostrazione. Dalla equazione 
UA Dn 
(i) a Zionk Uinsgh Ci Ln Vg Ch 
si deduce che i coefficienti 4,,pg Non possono essere zero per nessun sistema di varia- 
bili se non lo sono per tutti, od, in altre parole, che l’annullarsi di questi coefficienti 
è proprietà indipendente dalla scelta delle variabili. Conseguentemente questa proprietà 
è certo condizione necessaria perchè la g= X4,s di, das sia di classe zero. Dico ch’ è 
altresì condizione sufficiente, poichè la g sarà di classe zero quando si possano deter- 
(1) Vedasi p. e Ricci. Principi di una teoria ecc. (Mem. citata). 
