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minare n funzioni x delle n variabili indipendenti tali che soddisfacciano le equazioni 
a derivate parziali 
î IIS IAS ce È 
(5) > zo Za Ank,g Ch Ck + > Ung h ] (0) P,S== Il, DI 000 Vl 
poichè allora annullandosi tutte le (4,91) saranno costanti i coefficienti (4,s) della forma 
trasformata e con una sostituzione lineare a coefficienti costanti si potrà ridurre la 
forma (g), che è per ipotesi positiva, ad una somma di quadrati di differenziali. Am- 
messo che il determinante funzionale delle 4 rapporto alle antiche variabili 4’ sia di- 
verso da zero, alle (5) si possono sostituire le equivalenti equazioni 
SP. 28 TS n 
Dik Qnkg ERER Sn Angi@n = 0 
che, risolute rapporto alle «7°, danno 
a rs SP 8 
(6) Kala: ZÎnkg Chg Unk,g EhVk , 
ora, affinchè questo sistema definisca delle funzioni x delle 4° basta (') che da esse 
sì ottenga identicamente 
age HA, Alibi h 
quando negli sviluppi del primo e del secondo membro si sostituiscano per le deri- 
vate secondo i loro valori dati dalle (6). Nel caso nostro eseguendo lo sviluppo sì trova 
con semplicissimo calcolo 
PU I 
Dnkgi Cug Wg,ih Cn Crth (0) 
condizione che è verificata per l'ipotesi fatta che le 4,,,, sieno tutte nulle. 
6. Da ciò che precede emerge immediatamente che se in uno spazio piano, il 
campo rappresentato dalla equazione U= cost è contorno completo di uno spazio S,, 
nel quale U e le sue derivate prime e seconde si mantengono finite, continue e mono- 
drome ha luogo la equazione 
(Ca UastE= 3 4, US Lo rr =D i 
Ci 
; - Il ll 
Se si osserva che nel nostro spazio } 44U{—+ —)dc esteso ad una super- 
RO, 0, 09 
S x 7, 
ficie chiusa è proporzionale all’ aumento di volume dello spazio limitato da quella 
superficie, quando ai punti del contorno si danno spostamenti normali proporzionali 
a 4,U, si vede che il nuovo parametro differenziale 4, U potrà venire vantaggiosa- 
mente adoperato anche in problemi di Fisica Matematica. 
7. Beltrami ha dimostrato (?) che la curvatura tangenziale di una linea U= cost 
tracciata sopra una superficie è data da una espressione analoga alla (10) del S pre- 
cedente, che si ha cioè 
Tae 0 
ZAN Zio 
7 
(?) Vedasi G. Ricci, Sopra alcuni sistemi di equazioni differenziali. Annali di Matematica pura 
ed applicata, serie 22, tomo XII. 
o (è) Ricerche di analisi applicate alla Geometria, $ XXI. 
