servazione generale gia fatta sarà dunque invariabile la espressione 
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Fatto lo sviluppo di questa espressione si riconoscerebbe facilmente che le derivate 
tetze di U si distruggono scambievolmente, le derivate dell'ordine più elevato che 
restano sono le derivate seconde e queste appariscono al terzo grado, per cui Jz è 
una espressione invariabile di secondo ordine e di terzo grado. 
Se il campo S, è piano la J3 è uguale a tre volte la 43,3 U trovata dal Ricci. Sce- 
gliendo infatti per variabili 4 quelle che danno all'elemento lineare la forma VSdGE 
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le ax; sono nulle a= ca = 1, ca =0, e la (8) dà 
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9. Se dunque la equazione U = cost rappresenta in uno spazio piano ad 7 dimen- 
sioni una superficie che forma il contorno completo di un campo, nel quale la fun- 
zione U e le sue derivate prime e seconde si mantengono finite, continue e mono- 
drome, si avrà la relazione 
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07 05 
10. È poi facile vedere come proseguendo in queste ricerche si potrebbero costruire 
delle espressioni invariabili, che nel caso di spazi piani si riducano ai parametri 
4,.1,4x5;.... e come si potrebbero esprimere per mezzo di integrale di queste fun- 
zioni altri integrali che contengono le somme di prodotti 3 a 3, 4 a 4,.... delle 
inverse dei raggi di curvatura di uno spazio ad n—1 dimensioni situato in uno spazio 
piano ad n, moltiplicate per le potenze 2,7». di 4, U. rispettivamente. 
11. Farò anche notare che la espressione 
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è invariabile e potrebbe considerarsi come un parametro differenziale del secondo ordine 
misto delle funzioni U e V. 
