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Le curve C° sono del genere p= 3, perchè, nella rappresentazione piana delle 
superficie cubiche sulle quali sono descritte, hanno per immagini curve del 4° ordine 
senza punti doppî (!). 
2. Se tre piani omologhi di tre forme Si, concorrono in un punto, questo è 
situato sulla superficie F,8. Infatti lo spazio determinato da questo punto e dal quarto 
piano omologo incontra nel punto medesimo gli spazî omologhi. Per ogni terna delle 
forme vi sono tre al più ed uno almeno di questi punti. 
Un piano qualsivoglia P,° della prima forma incontra in un punto ognuno dei 
tre piani corrispondenti. Gli spazî omologhi delle tre forme S,© S,®, S:@, che si 
appoggiano rispettivamente a questi tre piani, tagliano P,° secondo tre fasci di raggi. 
Non vi sono che tre punti, al più, nei quali concorrano le terne di raggi corrispondenti ; 
questi tre punti non possono essere in linea retta. Si conclude che ogni piano di una 
forma S, incontra F,° in tre punti soltanto e quindi che: gli assi delle forme Si 
sono triseganti della superficie. 
Questa proprietà degli assi può essere dimostrata osservando che le tre forme 
S,©, S1®, S,‘ generano, colla intersezione dei loro spazî omologhi, una superficie ®;3 
a tre dimensioni e del 3° ordine la quale non può essere incontrata dalla retta S, 
in più di tre punti. 
Un piano che passa per una trisecante non può contenere in generale altre rette 
trisecanti; se ne contiene un'altra, le due rette trisecanti debbono ‘incontrarsi in un 
punto della superficie. 
Poichè ogni C° viene proiettata da un suo punto,*su di un piano dello spazio 
che la contiene, in una curva del 5° ordine (p=3) con-non più di tre punti doppî, 
si potrà stabilire che: /u//e le trisecanti di Fs°, uscenti da un punto della super- 
ficie, formano un cono a due dimensioni e del 3° ordine. 
Le rette che congiungono un punto arbitrario dello spazio fondamentale R, con 
qualsivoglia punto della superficie formano una duplice infinità; tra esse quelle che 
sono assoggettate alla condizione di incontrare la superficie un’ altra volta formeranno 
una semplice infinità ; e saranno in numero discreto quelle assoggettate alla condi- 
zione di incontrarla due altre volte. Fu dimostrato più sopra che due rette trisecanti 
non possono uscire da uno stesso punto fuori della superficie; adunque : per un punto 
preso ad arbitrio fuori della superficie F°, non passa, in generale, che una sola 
Irisecante della superficie medesima. 
3. La superficie E° può essere rappresentata punto per punto su di un piano 2. 
Per ottenere questa rappresentazione basta porre in corrispondenza proiettiva reciproca 
il piano £, con una delle forme S,. Ad ogni punto di £, corrisponderà uno spazio 
di S, e quindi il punto d’ intersezione degli spazî omologhi; in casi particolari, ad 
un punto di £, potrà corrispondere una retta di F,°; si avranno così i punti fonda- 
mentali del piano rappresentativo. 
Ad ogni retta di , corrisponde una curva normale del 4° ordine C', gene- 
rata dai quattro fasci omologhi di spazî proiettivi alla retta. 
(1) Clebsch, Veder die ebene Abbildung einer Fliche dritter Ordnung. Math. Ann. Bd. V.— 
Cremona, Mémoire sur les surfaces du troisibme ordre. Crelle 68. 
