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Sapendosi ora che i cono circoscritto alla superficie yg° è del 16° ordine, 
della 27% classe, del genere 18, in virtù delle note formole di Plicker si potrà sta- 
bilire che esso ha: 48 generatrici doppie, 39 generatrici cuspidali, 72 piani sta- 
zionari, 235 piani bitangenti. 
7. Dal numero dei punti doppî di una sezione piana di og° e dal numero delle 
rette trisecanti di F,° che si possono condurre dal centro 0 di proiezione si deduce che: 
la superficie sg possiede una curva nodale del 7° ordine, la quale passa tre volte 
per l’unico punto triplo della superficie medesima. 
Per determinare la immagine della curva nodale, si noti che ogni piano proiet- 
tante una retta di F,° taglia questa in tre punti fuori della retta; l’ immagine piana 
della curva nodale passa dunque tre volte per ogni punto fondamentale ; essa possiede 
altresì un punto doppio in ognuno dei tre punti determinati dal raggio trisecante 
uscente da 0. Perciò: l'immagine della curva nodale è una curva y°* dell’ 11° ordine 
con punti tripli nei diecè punti fondamentaii e punti doppi nelle tre immagini del 
punto triplo di og°. 
8. Vogliamo ora determinare il numero dei punti cuspidali della superficie 5g 
che si trovano sulla curva doppia. Si osservi che essi sono le proiezioni su 5g delle 
tangenti che dal centro 0 si possono condurre alla superficie Fs. Se da 0 si conducono 
nello spazio R, due raggi ad arbitrio 0A, 0B, e si determinano sulla superficie F° le 
curve di contatto degli spazî tangenti condotti per questi due raggi, si vedrà facilmente 
che le due curve avranno comuni i punti che si proiettano nei punti cuspidali richiesti, 
ed i punti di contatto degli spazî tangenti che contengono il piano dei due raggi 0A, 0B. 
Le due curve di contatto sono rappresentate nel piano (6) da curve del 9° ordine 
con dieci punti doppî comuni, sicchè il numero dei punti cuspidali sarà dato da 
81-40—27=14. Cioè: la curva nodale della superficie yy° possiede quattordici 
punti cuspidali. 
9. La curva y!! è del genere 12. Ad ogni punto della curva nodale corrispondono 
due punti di y!!; le rette che congiungono le coppie di punti inviluppano una curva @ 
proiettiva alla curva nodale; questa non avendo punti stazionarî, la curva @ non avrà 
flessi (£=0). Per determinare le proprietà della curva « bisogna conoscere altre due 
sue caratteristiche. Cerchiamole. Le curve « e y” si toccano nelle immagini dei punti 
cuspidali, le quali sono punti doppî nella corrispondenza determinata su y”. In qual- 
sivoglia fascio di raggi del piano, per mezzo di quella corrispondenza di punti si sta- 
bilisce una corrispondenza (11,11) di raggi la quale ha ventidue raggi uniti; ogni 
tangente alla curva « che esca dal centro del fascio rappresenta due raggi uniti; 
se dunque m è la classe di @ sarà i 
2m+414= 22, m=4. 
La curva « è della 4° classe. 
Il genere della curva @ è il genere della curva nodale. Per trovarlo basta ricor- 
rere alle formole di Zeuthen (1): 
Ye Ya = 22 (Pi 1) 221 (Po 1) 
(‘) H. G. Zeuthen, Nouvelle demonstration de théorèmes sur des séries de points correspon- 
dants sur deux courbes. Math. Ann. Bd, III, pag. 152. 
