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Gli altri punti cuspidali situati sulla curva doppia si troveranno come nel caso 
generale di ,g° notando che il genere della curva y!° è 7. Si conoscerà così facil- 
mente che : 
sulla curva nodale del 6° ordine vi sono otto punti cuspidali della super- 
ficie ay°; 
che la curva nodale è del genere 2 con 5 punti doppi apparenti ed un punto 
triplo. 
Le altre caratteristiche di questa curva sono 
B=0 r=14 m=24 y=52 a=36 «=70 g9—21o. 
19. Se il centro 0 di proiezione, fuori di Fs, si trova nel piano di due com- 
che e quindi anche (8) nel piano di una cubica di F,° allora la proiezione sg° pos- 
sederà una retta tripla, due rette doppie ed una conica doppia. 
Su ognuna delle rette doppie vi saranno due punti cuspidali della superficie (reali 
od immaginarî) e ve ne saranno 6 sulla retta tripla. 
Il piano della cubica di F,° si trova in un solo spazio a tre dimensioni con 
ognuno dei piani delle coniche: quindi Ze due rette doppie di sg° non s'incontrano, 
ma ognuna di esse inconira la retta tripla. 
Il piano determinato da una retta doppia e dalla retta tripla taglia ancora g° 
secondo una delle dieci rette semplici. 
La conica doppia ha un punto comune con ognuna delle rette tripla e doppie. 
Infatti ogni piano di Rs che passi per una retta doppia taglia g° secondo una curva 
del 4° ordine e di genere 1; uno dei due punti doppî di questa curva sarà nell'inter- 
sezione del piano con la seconda retta doppia; l’ altro sarà sulla conica doppia la 
quale perciò dovrà incontrare in un punto la prima retta doppia. Così pure ogni piano 
che passi per la retta tripla taglia $g° secondo una cubica con punto doppio; questo 
sarà sulla conica doppia, sicchè la conica doppia deve avere un punto comune colla 
retta tripla. 
La conica doppia è rappresentata nel piano £, da una curva del 4° ordine con 
due punti doppi in P, e P, e passante per tutti gli altri punti semplici fonda- 
mentali. Le due coniche di F° sui cui piani si trova il centro 0 di proiezione saranno 
rappresentate dalle rette P. P., Po Pe, € la cubica piana di F° che si proietta nella 
retta tripla di sg° sarà rappresentata dalla cubica che passa per tutti i punti fonda- 
mentali, eccettuato P.. È dunque evidente che lo spazio ordinario, che contiene la 
curva del 4° ordine di F° la quale si proietta nella conica doppia di gg°,—il quale 
spazio contiene altresì i due raggi P, P, di F,° — passa per il centro 0. Di qui si 
deduce una proprietà di F° che: lo spazio di due raggi della superficie P,° con- 
tiene i punti di concorso dei piani delle coppie di coniche che si appoggiano rispet 
tivamente all'uno ed all’ altro dei raggi medesimi. Ad ogni coppia di questi raggi 
corrispondono otto di questi punti; in totale 45 coppie con 360 punti. 
Ne segue: dl piano della conica doppia di sy° taglia la superficie secondo due 
delle dieci rette semplici ; esse sono le proiezioni dei due raggi 7a, 7 contenuti nello 
spazio della quartica. 
Sulla conica doppia vi sono quattro punti cuspidali della superficie; essi sono 
