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le proiezioni dei punti di contatto delle quattro tangenti che dal centro 0 si possono 
condurre alla quartica descritta su F3°. 
La cuiva @(9) sarà una conica e rappresenterà una curva dell’ 8° ordine di sg°. 
20. Sé il centro 0 di protezione si trova sul piano di una delle dieci cubiche 
piane di Es, allora sg° possiederà una retta tripla ed una curva doppia del 4° 
ordine. 
Questa curva doppia è la proiezione su sg5 di tutte le corde che si possono con- 
durre dal centro 0 alle cubiche gobbe secondo le quali la superficie F,° è tagliata 
dagli spazî ordinarî che contengono la cubica piana considerata. Da questa osserva- 
zione si deduce che l immagine della quartica doppia nel piano £, sarà una curva 
del 5° ordine con punto triplo nel punto fondamentale P, per cui non passa l'im- 
magine della cubica piana, e punto semplice in tutti gli altri punti fondamentali. 
Ogni retta che passa per P, taglia la curva y° in una coppia di punti che sono 
le immagini di un punto della quartica nodale. 
Per conseguenza la curva inviluppo @ considerata (9) nel caso generale sì riduce 
in questo caso particolare al fascio di centro P,. Si conclude : la quartica doppia è 
del genere 0. 
Questa proprietà è anche dimostrata dall’ altra che ogni piano che passi per la 
retta tripla di sg° taglia la superficie secondo una cubica con punto doppio e che 
quindi : 
la retta tripla è trisecante della quartica doppia. 
Si verificherà altresì facilmente colle note formole che : 
la retta tripla possiede sei punti cuspidali, la quartica doppia ne possiede 
otto, dei quali sei sono quelli della retta tripla. 
Notiamo infine che : 
l’iperboloide che passa per la quartica nodale taglierà la superficie sy° secondo 
il decimo raggio a cui non si appoggia la retta tripla. 
$S III. Prozezione della superficie F,° da un punto di essa. 
21. Supporremo ora che il centro 0 di proiezione sia situato sulla superficie F,°. 
Si osserverà anzitutto che qualunque sia la posizione del punto 0, la classe della 
proiezione rimane sempre eguale alla classe della superficie F,°. Sicchè (5) le super- 
ficie che otterremo nello spazio ordinario saranno tutte della 27% classe. 
22. II centro 0 è in un punto arbitrario di F°. 
La proiezione sarà una superficie og° del 5° ordine con undici rette, una delle 
quali sarà l intersezione collo spazio Rz del piano tangente ad F,° nel punto 0. 
Ogni sezione piana di ;g° essendo proiezione di una curva del 6° ordine e di 
genere 3, avrà non più di tre punti doppî. Ne segue: Za superficie og? possiede una 
cubica nodale (*). 
(1) Clebsch, Veder die Abbildung algebraischer Flichen, insbesondere der vierten und fiinften 
Ordnung. Math. Ann. Bd, I, S. 252.— Cremona, Veder die Abbildung algebraischer Flichen. Math. 
Aun. Bd, IV, S. 213.— Cayley, On the transformation of unicursal surfaces. Math. Ann. Bd. IIT, S. 469. 
