ci = 
Se © è l'immagine del punto 0, si riconoscerà che le cubiche gobbe della  super- 
ficio F° che hanno per immagine le rette wP si proiettano su ,g° secondo coniche. 
Dunque: sg? possiede cinquantacingue coniche ognuna delle quali si appoggia ad 
‘una coppia degli undici raggi. I piani di queste coniche sono tritangenti e tagliano 
la superficie secondo una cubica senza punto doppio la IE si appoggia ai nove 
raggi cui non si GIO la conica del piano. 
Le coniche del piano 2, che passano per © e per quattro punti fondamentali sono 
immagini di curve normali del 4° ordine situate su F° passanti per il centro 0. Esse 
sono in tutte STI — 210 e si proiettano secondo cubiche gobbe su og. Le coni- 
che del piano £, che passano per cinque punti fondamentali sono immagini di cubiche 
gobbe situate su F,° che non passano per 0 e che vengono perciò proiettate secondo 
curve della stessa specie. Esse sono LoraS1n0 
2.3.4.5 
162 cubiche gobbe ognuna delle: quali si appoggia a cinque rette della superficie. 
Per ogni retta di ,g” passano 20 piani che oltre ad essere tangenti alla super- 
ficie in due punti della retta, toccano la superficie in un terzo punto. Questi piani 
e quelli delle coniche costituiscono l’ insieme di tutti i piani tritangenti della superficie. 
La superficie 9° possiede perciò duecentosettantacinque piani tritangenti. 
23. Per determinare il numero dei punti cuspidali situati sulla cubica doppia si 
osserverà che il ragionamento adottato per il caso generale (8) vale anche per questo 
caso, quando si tolgano dal numero trovato allora quattro unità, cioè due per ognuna 
delle tangenti indicatrici del punto 0 sulla superficie F,°. Dunque: la cubica nodale 
possiede dieci punti cuspidali. 
Si troverà pure che: /’ dmmagine piana della cubica nodale è una curva y° del 
7° ordine con dieci punti doppî nei punti fondamentali e un punto doppio in . 
Fu dimostrato (1) che F,° non ha rette quadriseganti: quindi 9g? non ha punti 
tripli. 
La curva y° è dunque del genere 4.e della 20% classe. 
24. La sezione piana di ,g° è una curva del 5° ordine con tre punti doppî e 
nessuna cuspide ; essa è dunque della 14% classe. 
Le formole di. Plicker lasciano concludere che: </ cono circoseritto alla super- 
ficie ,g° avente il vertice in un punto qualunque dello spazio è del 14° ordine, 
della 27° classe, con trentatre generatrici cuspidali, ventotto generatrici doppie, 
settantadue piani stazionari, duecentotrentasei piani bitangenti ; esso è del genere 17. 
25. La curva @ (9) sarà una conica. #ssa è è immagine di una curva dell’ 8° ordine 
CS che è l'intersezione di og6 con la sviluppabile della cubica doppia. 
Siccome ogni retta di £, rappresenta una quartica di genere 0 descritta su )g°, 
così si vedrà che c'è una semplice infinità di curve del 4° ordine e di genere 0 le 
quali siano tangenti a CS. Per un punto qualunque della superficie non si possono 
condurre più di due di queste curve. 
Ogni curva del 4° ordine di sg°, rappresentata in 2, da una retta, si trova 
colla cubica doppia su di una medesima quadrica. i 
26. Lo stesso metodo di ragionamento adottato pel caso generale di ,g°(13) farà 
=—=252. Dunque : «0° possiede in totale 
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