— 194 — 
31. Il centro 0 di proiezione è su una delle cubiche piane di Bs° 0 nel punto 
comune a due di esse. 
In questi casi la superficie g* dovrebbe avere una linea di 2° ordine doppia 
scomposta in linee d’ ordine inferiore. Siccome ciò è impossibile (') così la superficie g° 
in questi casi si dovrà scomporre in superficie d' ordine inferiore. 
S IV. Scomposizione della F° in superficie d’ ordine inferiore —F>. 
82. Ritorniamo ora a considerare la costruzione della superficie F,° nello spazio 
fondamentale R, (SI) e supponiamo che quattro spazî corrispondenti delle forme Sì 
si tagliano secondo un piano Q,. Questo piano potrà ottenersi, ad es., colla inter- 
sezione degli spazî determinati da due coppie distinte di assi DI - 
La superficie F,° evidentemente si scomporrà allora in questo piano Q. ed in 
una superficie F,° la quale potrà essere punto per punto rappresentata nel piano £,. 
Un punto A di £, rappresenterà il piano Q> di Ry. 
Vi saranno perciò in £, sette punti semplici fondamentali P; ed un punto dop- 
pio A, i quali determineranno la quadruplice infinità di curve y° corrispondenti alle 
intersezioni C* di qualsivoglia spazio ordinario con la superficie F>° contenuta in R,. 
Ad ogni retta del piano £, corrisponderà una curva normale C4; se la retta 
passa per P, la quartica si scompone in una retta ed in una cubica; se la retta passa 
per A, rappresenterà una conica di F,°; se la retta, passa per A e P, essa rappresen- 
terà una retta. Ne segue : 
La superficie F,> possiede: 
11 rette, due a due situate în sette piani distinti. Diremo 1; questi piani ; 
di pi le rette situate in essi e corrispondenti rispettivamente alle rette AP; ed ai 
punti P; del piano ®,; 
una duplice infinità di quartiche normali C* che non si appoggiano ad alcun 
raggio p; ma che incontrano una volta i raggi «i; 
7 sistemi di co cubiche gobbe D* che si appoggiano ad un solo raggio Pi; 
21 coniche C*x che si appoggiano a due raggi pi px ed agli altri cinque raggi 
a non coniugati ai primi due (hanno per immagini le rette P; P, del piano 2%); 
un sistema semplicemente infinito di coniche T° rappresentate dalle rette del 
fascio A; appartengono a questo sistema le coppie di raggi coniugati 4; pi; 
21 cubiche C3,, determinate dallo spazio di due raggi 4; 4x e rappresentate nel 
piano £, da una conica che passa per cinque punti fondamentali. Queste cubiche hanno 
per corde, reali od immaginarie, i due raggi 4; 4x, non incontrano i raggi pipx ed 
incontrano una volta tutti gli altri raggi della superficie; 
21 cubiche 'C*;, determinate dallo spazio di due raggi p; 7x e rappresentate 
nel piano £, da curve y' con tre punti doppî. Queste curve hanno rispetto ai raggi p 
le stesse proprietà che le curve C* rispetto ai raggi 4; 
35 coniche H2, le quali s'appoggiano a quattro raggi p ed ai tre raggi 4 non 
coniugati ai primi. Sono rappresentate dalle coniche che passano per A e per quattro P; 
(1) Clebsch, 1. c. $ 2. 
