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55. Za superficie P,° è della 20° classe, perchè 20 è il numero delle curve y4 
di un fascio che hanno un punto doppio, oltre. quello in A. 
Le superficie che otterremo per proiezione della F,° saranno tutte della 20° classe. 
SV. Proiezioni di F>° su d’ uno spazio ordinario 
da un punto fuori di essa. 
56. Caso generale. IL punto 0 è in una posizione arbitraria dello spazio fon- 
damentale Ry. 
La superficie ,D° non ha punto triplo; ogni sua sezione piana essendo proiettiva 
ad una curva piana y' con un punto doppio, sarà del genere 2 e quindi possederà 
quattro punti doppî; ciò vuol dire che: la superficie ‘D? possiede una curva nodale 
del 4° ordine; sette coppie di rette (!); una semplice infinità di cubiche piane e 
di coniche. Tutte le cubiche piane passano per un punto della superficie s®° ed i 
loro piani inviluppano un cono quadrico. 
Questo cono è la proiezione del cono o—K;? di R,. 
I piani tangenti di questo cono sono tutti bitangenti alla superficie ®°; ma dodici 
di essi sono tritangenti e sono quelli corrispondenti alle curve del fascio che nel piano 
2, possedono un punto doppio. 
‘Le proiezioni dei piani Z7 sono piani tritangenti della superficie. 3"; ognuna 
delle due rette incontra due volte la quartica nodale; i tre punti di contatto sono, 
l'uno nel punto d' incontro delle due rette e gli altri due rispettivamente sulle due rette. 
Gli spazî del fascio determinato dal piano assiale 0p; tagliano F,° secondo curve 
del 4° ordine rappresentate in 2, da y' con due punti doppî; queste formano un 
fascio di cui dodici soltanto hanno un punto doppio anche altrove. Quindi tra tutti 
i piani che passano per la proiezione del raggio p; ve ne sono dodici che sono tritan- 
genti a PD. 
Sono anche piani tritangenti di ,@° quelli che la tagliano secondo coniche proiet- 
tive alle coniche L,° del piano (32), e quelli corrispondenti alle coniche H? (32); 
infine è anche un piano tritangente di ,@° quello che proietta la conica K® contenuta 
nel piano @.. 
Riepilogando: Za superficie 1®° possiede 146 piani tritangenti. 
37. L' Hessiana della rete delle curve y4(6) nel nostro caso è una curva 5? del 9° 
ordine che ha punto doppio in P; e punto 52 in A. È dunque una curva del genere 11. 
La classe di una sezione piana di 0° è eguale a 12. 
Ora sapendosi che 7 cono circoscritto alla superficie ,P° è del 12° ordine, del 
genere 11, e della classe 20%, in virtù delle formole di Pliicker si ricaverà che esso 
ha 20 generatrici doppie, 24 generatrici cuspidali, 112 piani bitangenti e 48 piani 
stazionari. 
(1) Cremona, 1. e. — Clebsch, Adhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gùttin- 
gen, 1870, Bd. 15. — Sturm, Veber die Flichen mit einer endlichen Zahl von einfachen Geraden, 
Math. Ann. Bd. IV. — Max. Noether, Weber Mlichen welche Schaaren rationaler Curven besitzen, 
Math. Ann. III S. 198.— Clebsch, Veder den Zusammenhang einer Klasse von Flichenabbildungen 
mit der Zweitheilung der Abel'schen Functionen, Math. Ann. Bd. III S. 71. 
