— 198 — 
Dimostrata questa proprietà fondamentale di F,°, se — come abbiamo premesso — 
il centro 0 di proiezione si trova sul piano di due coniche L;*, Ly?, 
la superficie «®* avrà quattro rette doppie formanti un quadrilatero sghembo 
Su ogni retta doppia vi sono due punti cuspidali. 
Se diciamo /; la retta doppia proiezione di L,? ed /, quella che è proiezione di Ly”, 
9g la proiezione della conica K° ed / la proiezione di C%x, si troverà che: ad ogni 
coppia di lati opposti del quadrilatero doppio s'° appoggiano cinque rette semplici 
(cioè le proiezioni dei raggip— ad eccezione di p; e pa — si appoggiauo ad fi ed fx; 
le proiezioni dei raggi 4—ad eccezione di @; ed 4; che si appoggiano solo a g— 
si appoggiano a 9 ed 4). 
I due raggi proiettanti pi e pr escono da due vertici opposti del quadrilatero 
e giacciono nel piano determinato dui due lati concorrenti in quel vertice. 
In altre parole: Vi sono cinque coppie coniugate di rette semplici ognuna delle 
quali è situata col quadrilatero sghembo su di un medesimo iperboloide. 
Il fascio di quadriche rigate che ha per base il quadrilatero sghembo, taglia 
la superficie «®° secondo coniche (proiezioni delle coniche T?); vi sono cinque iper- 
boloidi che tagliano »®" secondo una coppia di raggi» coniugati. 
43. Si otterrebbe una nuova superficie 3®? se si proiettasse F,° dal punto comune 
al piano di due coniche rappresentate dalle rette P,P}, P;Py. S' incontrerebbero in 
questo punto anche i piani della conica L? e della conica rappresentata in 2, dalla 
curva del 2° ordine determinata dal punto A e dai quattro punti P, eccettuati P;, Py, P:. 
44. Il centro 0 sia situato sul piano di una conica H°. 
La conica H? sia quella rappresentata nel piano , dalla conica che passa per A 
e per i punti P,,.P:, P3;, Pa. Ogni spazio ordinario che contenga H? taglia F,° se- 
condo una cubica gobba proiettiva ad una conica del fascio che ha per base i punti 
A, P., P, P:. Adunque ogni sezione piana della proiezione ,«®° che contenga la retta 
doppia proiezione di H° avrà, fuori di questa retta doppia, un punto doppio. Cioè: Za 
superficie «> possiede una cubica doppia ed una retta doppia che è corda della cubica. 
La cubica doppia è rappresentata nel piano £ da una curva y° con punti doppî 
in A, P;, Pe, Py e punti semplici in Pi, P3, Pa; Pa; è dunque del genere 2. 
La curva y5 incontra l immagine di H° in quattro punti distinti in due. coppie 
ognuna delle quali rappresenta un punto d' intersezione della cubica doppia colla retta 
doppia di ,@°. La formola di Zeuthen dà che : sulla cubica doppia vi sono sei punti 
cuspidali. 
E dalla rappresentazione piana si dedurrà che: la retta doppia incontra sette 
raggi della superficie 4®°; di questi, quattro appartengono ad un sistema (sono le 
proiezioni dei raggi «4» 4 4 di F,°) gli altri tre sono coniugati ai tre rimanenti 
del primo sistema (sono le proiezioni dei raggi p; pe pa). Alla cubica doppia s° appog- 
giano una volta tutti € raggi. 
Vale a dire: 1? possiede quattordici rette semplici delle quali sette si appog- 
giano alla retta doppia e tutte alla cubica doppia; due qualunque delle prime sette 
non possono essere situate în un piano. 
Tra i piani seganti che passano per la retta doppia ve ne sono adunque sette che 
tagliano la superficie ,@° secondo una retta ed una conica. 
