— 199 — 
Il fascio di quadriche che passa per la cubica doppia e per la retta doppia 
taglia «®° secondo coniche protettive al fascio di rette che passano per A (nel 
piano 22). 
45. Se il centro 0 di protezione è sul piano Q. sì ottiene una superficie ;D?, 
come la precedente con cubica doppia e retta doppia. 
La rettà doppia è rappresentata nel piano dal punto A; la cubica di una curva 
y° con punto quadruplo in A e punto doppio in tutti gli altri punti fondamentali. La 
retta doppia è una corda della cubica doppia. 
La sola differenza tra ,D* e ;®® è che nella seconda /a retta doppia s'appoggia 
a sette rette semplici di uno stesso sistema (sono le proiezioni di tutti i raggi «) 
e la cubica doppia incontra pure una sola volta queste sette rette, ma ha per corde 
le loro coniugate. 
46. Altri casi particolari di ®° potranno ottenersi proiettando F° da un punto 0 
situato nello spazio di due raggi »p;, px 0 nel piano o nella retta d’ intersezione di due 
o di tre tali spazî. Le superficie ;@*, ;®?, sD° che rispettivamente si ottengono in Rs 
avranno le proprietà della superficie generale ,D?, ma una, due, 0 tre coppie di raggi 
di uno stesso sistema si troveranno situate în un piano e î due raggi si incontre- 
ranno sulla quartica doppia, della quale sono corde. 
$ VI. Proiezione di F>° su di uno spazio ordinario da un punto di essa. 
47. Se il centro di proiezione è situato sulla superficie F»°, la proiezione 9D* 
sarà tale che una sua sezione piana sarà una curva del 4° ordine proiettiva ad una 
curva, yi, del piano £,, con un punto doppio in A. Vale a dire: la superficie 0 P' 
è del quarto ordine con una retta doppia. Essa è, come la superficie generale F>, 
della 20 classe (!). 
Essa possiede, oltre alle 14 rette che sono proiezioni delle rette di F.°, una retta 
che è ottenuta dalla intersezione dello spazio R3 col piano tangente in 0 ad F.?°, ed 
un'altra che è la proiezione della conica proiettiva alla retta OA del piano 9,. 
La retta doppia è la proiezione della cubica piana U? di F,° che passa per 0. 
Dunque: ,®* possiede sedici rette, due a due situate in un piano che passa per la 
retta doppia. 
La curva parabolica di ,D4 sarà dell'ordine eguale a quello della curva parabolica 
di ,®°, diminuito di quattro unità (26). Cioè a curva parabolica di yD! è del 24° ordine. 
Dal punto 0 potendosi condurre quattro sole tangenti alla cubica piana U?, si 
dedurrà che su/la retta doppia di rD' vi sono quattro punti cuspidali. Quindi l imma- 
gine piana della curva parabolica (40) sarà una curva del 20° ordine con punti qua- 
drupli nei punti P.ed 0; con punto 12? in A e punti doppî nelle immagini dei 
TRISTI es 
e 
punti cuspidali ; questa immagine è dunque del genere 
Cioè : la curva parabolica di ,D* è del genere 53. 
(*) Clebsch, 1. c. Math. Ann. Bd. III, pag. 45; Bd.I, 1. c.— Sturm, 1. c. Math. Ann. Bd. IV._— 
Salmon, Geom. of three dimensions, pag. 491, ecc. 
