— 200 — 
48. Noi non vogliamo tentare di dar qui la completa enumerazione delle superficie 
di 4° grado con retta doppia che si deducono colla proiezione di F,° da un punto di 
essa, perchè lo studio di queste superficie è noto e può essere rifatto per la via che 
abbiamo indicata, in modo molto semplice. Basta supporre ‘che il centro 0 assuma 
ordinatamente posizioni singolari sulle curve o sulle rette di F,°. 
Noteremo come caso speciale che quando il punto 0 si trova nel vertice del cono 
o—K;° formato dai piani delle coniche T? e delle cubiche U? (34), la proiezione di 
F,° si, riduce a un iperboloide doppio, intersezione con lo spazio Rs del cono K?. 
S VII. Scomposizione della superficie F>° in superficie del 4° ordine F+. 
49. Se nella generazione della superficie F,° (1. 2) si suppone che due quaderne di 
spazi omologhi delle forme S, si incontrino ordinatamente in due piani Q., Q':, la 
superficie generata si scomporrà in questi due piani ed in una superficie del 4° ordine 
P,' la quale sarà posta in corrispondenza proiettiva col piano ,. 
Il piano 2, avrà due punti doppî fondamentali A ed A’ e quattro panti semplici P. 
Le curve y* che passano per questi punti sono le immagini delle sezioni ordi- 
narie di F,'. 
I punti A_ed A'rappresentano le coniche secondo le quali i piani Q:, Q: ta- 
gliano F.i.: 
La retta AA' rappresenta il punto M comune ai due piani Q», Q'», che è un punto 
di F;4. 
Ogni punto P rappresenta una retta di F,'. Rappresentano rette della superficie, 
le rette AP;, A'P; del piano e le coniche che passano per tutti i punti fondamentali 
eccettuato uno dei punti P. Adunque : | 
P,' possiede sedici rette; una qualunque di esse è incontrata da cinque altre. 
Infatti ad ogni raggio p; s' appoggiano le due rette che hanno per immagini AP; 
ed A"P;, e le tre rette che hanno per immagini le coniche che passano per P;, A, A' 
e per altri due punti fondamentali. Così pure alla retta che ha per immagine la 
conica AA'P,P,P; sì appoggiano i tre raggi pi, 22, 73 e quelli che hanno per im- 
magini le rette AP, ed A'P,. 
Le cubiche di genere 1 che passano per tutti i punti fondamentali sono le imma- 
gini di tutte le sezioni ordinarie della superficie ottenute con spazî che passano per 
il punto M. 
Le cubiche che hanno punto doppio in A od A' e passano per tutti i punti fon- 
damentali sono immagini delle coniche B®, B,? determinate dai fasci di spazî che 
hanno per asse il piano Q. od il piano Q'. 
Le rette del fascio A o del fascio A' sono pure immagini di coniche C*, C;? 
della superficie F3*. 
Ogni conica C° si trova in un solo spazio con qualsivoglia conica B,°; ogni co- 
nica C,? si trova in un solo spazio con una conica B?. 
Le coniche del piano £, che passano per i punti A, A‘, P;, Pz sono immagini di 
coniche D?; della superficie. Vi sono sulla superficie F,* sei fasci di coniche D?. 
Ogni conica D?*,; sì trova in un solo spazio con una conica D?,,. 
