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Ora si sa che, se nello spazio fondamentale R, si hanno due sistemi semplice- 
mente infiniti di piani (che non passano per una sola retta) e tali che ogni piano 
del primo sistema sia situato in uno spazio ordinario con qualsivoglia piano del 
secondo sistema, i due sistemi sono quelli di un cono quadrico a tre dimensioui e 
tutti i piani concorrono nel vertice del cono. 
Ne segue che è piani delle coppie di coniche (B?, 01°), (i 02) (En DES) 
(D?;, D°,a); (D%, D° sa) generano cinque coni quadrici a tre dimensioni. Gli spazi 
tangenti di questi coni sono tangenti alla superficie Fs° e la tagliano secondo due 
coniche coniugate. Noi diremo questi coni % coni di Kummer della superficie Fo. 
Infine si vedrà dalla rappresentazione piana che ad ognuna delle sedici rette di F,4 
corrisponde un sistema di co? cubiche gobbe, intersezioni della superficie colla doppia 
infinità di spazî che passano per quella retta. Ecc. ecc. 
La superficie Ft è della 12° classe. 
50. Lo scopo del nostro lavoro essendo limitato allo studio delle superficie del 
5° ordine e del 6° ordine, tralascieremo qui di studiare i moltissimi casì speciali di 
superficie del 4° ordine che si possono ottenere colla proiezione della superficie F,* 
da un punto 0 dello spazio fondamentale R,. 
Noteremo soltanto che la proiezione generale sé! è una superficie generale del 
4° ordine a conica doppia (!). 
I vertici ed i coni di Kummer di F‘ si proiettano nei vertici e coni di Kummer 
di oW'. 
Se il centro di proiezione è in uno dei vertici di Kummer di F,*, la superficie 
medesima”si proietta in un iperboloide doppio. 
51. Infine se il centro 0 di protezione si trova su F,' la proiezione che se ne 
ottiene è una superficie generale del 3° ordine Y3 (?). 
Se © è l’immagine nel piano , del centro 0, la superficie W? conterrà 27 rette; 
una di queste sarà determinata dalle tangenti in 0 alla superficie F,*, sedici saranno 
le projezioni delle rette di F,4; le altre 10 saranno le proiezioni, delle due coniche 
che hanno per immagine A ed A'w, delle sei coniche che hanno per immagini le 
coniche (AA'P;Px@) e delle due coniche che hanno per immagini le cubiche che pas- 
sano per tutti i punti fondamentali e per © ed hanno punto doppio in uno dei due 
punti A. 
S VII Scomposizione di F>° în superficie del 3° ordine. 
52. Se nella generazione della superficie F,° si suppone che vi siano tre quaderne 
di spazî omologhi delle forme S, i quali si incontrino ordinatamente ne piani Q», 2,9", 
la superficie del 6° ordine si seomporrà in questi tre piani ed in una superficte cubica F>8. 
Questa sarà rappresentata punto per punto nel piano £, il quale avrà tre punti 
(1) Vedi i noti lavori di Kummer, Clebsch, Cremona, Sturm, Geiser, Darboux, Zeuthen, ecc. ecc. 
e recentemente : Segre, Htude des différentes surfaces du 4° ordre ecc. Math. Ann. Bd. XXIV, pag. 313. 
(®) Cremona, Mémoire sur les surfaces du troisième ordre, Crelle 68. — Clebsch, Crelle 65 
Math. Ann. V.— Reye, II ecc. 
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