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doppî fondamentali A, A’, A”, ed un punto semplice P. Ogni sezione ordinaria di F* 
sarà rappresentata da una curva del 4° ordine di genere 0. 
Il punto P è l’immagine di una retta p direttrice della superficie PF. 
Ogni spazio che contenga la direttrice taglia la superficie secondo una curva la 
quale ha per immagine piana una curva del 4° ordine che si scompone in due coniche 
del fascio (A AVA"P). Ognuna di queste coniche rappresenta una retta. Ne segue : 
La superficie F,} è rigata. Essa contiene una sola direttrice rettilinea alla 
quale s'appoggiano tutte le generatrici : ogni spazio che passi per la direttrice taglia 
la superficie secondo due generatrici che non si incontrano (1). 
Tutte le rette del fascio P rappresentano le cubiche gobbe che passano per i 
tre punti corrispondenti alle rette AA. 
Per ogni punto di F* passa una sola di queste cubiche ed una sola generatrice. 
Per due punti qualunque della superficie passa una sola conica (immagine della 
conica determinata da questi due punti e dai tre punti A) ed una sola quartica nor- 
male (immagine della retta che congiunge le immagini dei due punti). 
53. La proiezione della superficie F* da un punto qualunque 0 dello spazio R, 
è una superficie cubica rigata con una retta doppia ed una retta semplice direttrice (*). 
54. La proiezione di F,° da un punto qualunque di essa è una quadrica rigata. 
55. Sei quattro assi S, delle forme che generano la superficie F,° sono in uno 
stesso spazio ordinario @: e questo è un elemento unito delle forme proiettive, la super- 
ficie F° si risolve in una superficie cubica F,* rappresentata nel piano dalle curve del 
4° ordine con punto triplo in A (immagine di Q3) e punto semplice in quattro punti 
fondamentali P; . i 
Sarà facile riconoscere che questa superficie ha le medesime proprietà di quella 
considerata al n. 52. 
La direttrice sarà rappresentata dalla conica che passa per i cinque punti fon- 
damentali; le generatrici dalle rette del. fascio A; le coniche della F* dalle cubiche 
del piano 2, che hanno punto doppio in A e punti semplici in tutti i punti fonda- 
mentali. 
Le rette AP rappresentano quattro punti fissi di F,°. 
S IX. Posizioni particolari dei punti fondamentali 
nel piano rappresentativo. 
56. Non intendiamo qui di studiare tutti gli innumerevoli casì particolari di 
F,° che si possono presentare, secondo che taluni dei punti fondamentali sono situati 
su linee particolari del piano. Ci limiteremo solo ad accennare taluni dei casi che 
ottengonsi quando una o più terne di punti sono in linea retta. 
Così: se si ha una terna di punti in linea retta, la superficie 1F25, oltre alle 
dieci rette, possiederà una undicesima retta la quale si appoggia ad una terna 
(1) Veronese, Princip des Projicirens und Sehneidens. Math. Ann. Bd. XIX, pag. 230. 
(?) Cremona, Rapp. piana. R. Ist. lombardo del 1867. — Clebsch, Math. Ann, I ecc. — Bordiga, 
Rappresentazione piana di una superficie rigata normale di R,. Ist. veneto, 1886. 
