Sui sistemi di Weingarten negli spazì di curvatura costante. 
Memoria del Gorrispondente LUIGI BIANCHI 
pervenuta al Presidente durante le ferie accademiche 
PREFAZIONE 
Quei sistemi tripli di superficie ortogonali, contenenti una serie di superficie a 
curvatura costante, che ho studiato in una Memoria inserita nel tomo XIII serie 2% 
degli Annali di Matematica (!) (sistemi di Weingarten), esistono e conservano le 
loro proprietà fondamentali anche negli spazî a tre dimensioni di curvatura costante, 
e cioè tanto nello spazio di Riemann (a curvatura costante positiva), quanto in quello 
di Lobatschewsky (a curvatura costante negativa). 
In questa Memoria mi occupo appunto di estendere a tali spazî i risultati, che 
ho ottenuto nel citato lavoro per il caso dello spazio piano (euclideo). 
Comincio nel S I dal trattare analiticamente le formole relative alle linee ed 
ai raggi principali di curvatura di una superficie qualunque, immersa nello spazio di 
Riemann o in quello di Lobatschewsky. Ottengo così le relazioni fondamentali (5) n. 3, 
che coincidono formalmente con quelle ben note sussistenti nello spazio euclideo. 
Da queste formole segue (S II) che l'elegante e fecondo teorema di Weingarten (*), 
relativo alle evolute di quelle superficie, i cui raggi principali di curvatura sono fun- 
zioni l’uno dell'altro, conserva la sua validità anche nei nuovi spazî. 
Fra le numerose conseguenze di questo teorema qui ne viene segnalata soltanto 
una, che si riferisce alle superficie pseudosferiche e permette di estendere la mia costru- 
zione (rasformazione complementare), per dedurre nuove superficie pseudosferiche da 
una iniziale nota, anche agli spazî curvi qui considerati. Però è da osservarsi che tale 
costruzione, sempre reale nello spazio di Riemann, si conserva tale anche in quello 
di Lobatschewsky solo quando il valore assoluto della curvatura dello spazio è infe- 
riore a quello della curvatura della superficie. Le infinite trasformate complementari 
di una medesima superficie pseudosferica hanno per curve traiettorie ortogonali dei 
circoli eguali, tracciati nei piani tangenti della superficie iniziale, col centro nel punto 
di contatto; esse fanno parte di un sistema triplo di superficie ortogonali, come nello 
spazio euclideo (S III). 
(1) Le frequenti citazioni di questo lavoro saranno segnate con M. A. 
(£) Crelle’s Journal Bd. 59, S° 382. 
