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Dopo le considerazioni geometriche di questo paragrafo, che dimostrano l'esistenza 
di sistemi ciclici di Ribancour nei nuovi spazî, tratto il problema generale dei sistemi 
tripli ortogonali di Weingarten, attenendomi specialmente al caso, in cui le super- 
ficie Y di un sistema siano a curvatura costante negativa (S IV). Qui si palesa nuo- 
vamente la influenza della curvatura dello spazio. Se questa è positiva, oppure, essendo 
negativa, non supera in valore assoluto la curvatura delle superficie x, le formole 
rimangono le stesse come se la curvatura dello spazio fosse nulla, sicchè ad ogni 
sistema di Weingarten nello spazio euclideo ne corrisponde uno nello spazio di Rie- 
mann o di Lobatschewsky. Ai sistemi di Weingarten in questi spazî rimangono per- 
ciò applicabili la trasformazione complementare e quella di Bicklund ($$ 8-9. M. A). 
Ma se la curvatura dello spazio di Lobatschewsky supera in valore assoluto quella 
delle superficie X, cambia la forma dell'elemento lineare dello spazio, riferito ai cor- 
rispondenti sistemi di Weingarten, la cui esistenza dipende da quella degli integrali 
del sistema di equazioni a derivate parziali (B) n. 15 S V. Seguendo una via anali- 
tica, analoga a quella che conduce alla trasformazione complementare e di Backlund 
pel sistema (A) n. 11, si riesce a stabilire l’esistenza di infinite soluzioni del sistema (B), 
formando delle successive equazioni ai differenziali totali del tipo di Riccati, la cui 
integrazione fa conoscere sempre nuove soluzioni. 
In particolare esistono anche qui dei sistemi ciclici (n. 17), ma i circoli orto- 
gonali alle superficie X sono circoli a centro ideale. 
Nel successivo paragrafo VI tratto rapidamente il caso in cui la curvatura delle 
superficie X, pure essendo costante per ciascuna di esse, individualmente considerata, 
varia con continuità dall'una all'altra. 
L'ultimo paragrafo è dedicato alle caratteristiche dei sistemi di Weingarten. 
Prendendo per equazioni tipiche a derivate parziali del problema il sistema (A) n. 11, 
vi dimostro come si possa sviluppare in serie la funzione cercata e soddisfare così 
formalmente alle equazioni stesse, r stando’ ogni coefficiente della serie funzione di 
due variabili e contenendo tre costanti arbitrarie. Imponendo allora alla funzione cer- 
cata di soddisfare a quelle condizioni ai limiti, che sono espresse nel teorema sulle 
caratteristiche del n. 11 M. A, si vede che la serie risultante è unica e determinata. 
Così, per la parte che riguarda la unicità del sistema di Weingarten, sotto le richieste 
condizioni ai limiti, viene colmata quella lacuna, che già avvertiti nella prefazione 
alla Memoria degli Annali. 
