Linee e raggi principali di curvatura di una superficie. 
1. Se la forma differenziale quadratica a tre variabili 
(1) ds? = H,® du? + Hx® dv° 4&- H3® dw® 
deve definire l'elemento lineare di uno spazio a curvatura costante K, le funzioni 
H,, Hs, Hz delle coordinate correnti «, v, w di un punto debbono soddisfare alle 
sel equazioni : 
è 1 5HL d I EG di QEG dH, 
PAGO Hs° dw dWw 
LO. 1 dHz HO 1 dH, 1 9Hs dH3z 
(2) dv \Hs dv dw\Hz dw Hi du du 
d E Ml) ud SE 1 d3H; dH, 
+ KH,H,=0, 
+KH,H3=0, 
LKH, Ho =0, 
dw\Hs dwW INSY? Hi, dw FINN VMNO dona 
Lor aa 
dun TH, dv SH dd dd 
c. )) SA” di ali di ld aa 
(2) Qui TH) do dU Hi de dD 
d°Hs 1 èH3 dH, , 1 dH393H; 
RITRAE 
Inversamente, se ciò accade, lo spazio cui appartiene l'elemento lineare (1) ha la 
curvatura costante K, e la forma differenziale (1) è trasformabile in qualunque altra, 
cui competa il medesimo valore K della curvatura (!). 
Per le ricerche che abbiamo in vista, ci converrà prendere come forme r07mali, 
a cui è riducibile la forma differenziale (1) (quando le (2), (2°) siano soddisfatte) 
le seguenti : 
A AI di 1 siedo È 
1° Se K è positivo, poniamo lis inioni la forma normale sarà 
] 
(8) pra da 4 dy° 4 de? 
0/0 I 2/2 PELI l li 
(onlalnps "4a? 
2° Se K è negativo, poniamo K aio assumeremo per forma normale 
4 
a 
(4) (UP = (MPA): 
È 
Ove si riguardino 4, y, 2 come coordinate cartesiane ortogonali di un punto mo- 
bile nello spazio euclideo, colle formole (3), (4) viene stabilita una rappresentazione 
(!) Veggasi: Lipschitz-Crelle’s Journal Bd. 72, $° 52 e per le formole (2) (29); Souvorof, Bul- 
lettin des sciences mathématiques, t° IVème, p. 192. 
