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conforme dello spazio a curvatura costante Koi sullo spazio piano (!). In 
questa rappresentazione ad ogni circolo (o retta) dell'uno spazio corrisponde un cir- 
colo o una retta nell'altro, come pure ad ogni sfera (o piano) dell'uno una sfera o 
un piano nell'altro. 
In particolare se ci fermiamo al 2° caso (ea) tuttii punti dello spazio 
di Lobatschewsky vengono rappresentati da punti dello spazio euclideo, la cui ordi- 
nata < conserva sempre il medesimo segno, p. e. il positivo, mentre i punti del piano DI 
rappresentano punti all'infinito dello spazio curvo. Ogni retta (geodetica) di quest'ul- 
timo spazio ha per immagine un circolo ortogonale al piano limite = =0 e inver- 
samente (2). 
2. Consideriamo una superficie qualunque S, immersa nello spazio di Riemann 
o di Lobatschewsky, e tiriamo le rette (geodetiche) normali alla S. Esiste una serie co! 
di superficie ortogonali a tutte queste rette (superficie parallele alla S), alla quale 
possono associarsi altre due serie co! di superficie, che formano colla prima un sistema 
triplo ortogonale. Questa proposizione, che segue dalla esistenza delle linee di cur- 
vatura della S (3), può anche dimostrarsi direttamente ricorrendo alla rappresentazione 
conforme del n. 1. 
Consideriamo infatti una superficie S,, parallela alla S, ottenuta staccando sopra 
le normali di S dei segmenti eguali. Se tracciamo una linea arbitraria L sopra S, le 
normali a questa superficie lungo L generano una superficie rigata o, che taglia la Si 
lungo una linea L,. Essendo la L traiettoria ortogonale delle generatrici di o, la La, 
come luogo degli estremi di segmenti eguali contati sulle generatrici a partire da L, 
è una seconda traiettoria ortogonale; la S, taglia dunque ad angolo retto tutte le 
normali di S. Ciò posto, se della nostra figura nello spazio curvo facciamo la rappre- 
sentazione conforme del n. 1 sullo spazio euclideo, alla superficie S ed alle sue paral- 
lele corrisponderà una serie di superficie X, alle rette, normali alla S ed alle super- 
ficie parallele, corrisponderà un sistema co? di circoli ortogonali alle superficie 3. 
Per un teorema di Ribancour, dimostrato al $ 7 della mia Nota II Sud sistemi cielici (4), 
la serie X farà parte di un sistema triplo di superficie ortogonali; a questo sistema 
triplo ortogonale corrisponderà nello spazio obiettivo (la rappresentazione essendo con- 
forme) un sistema triplo ortogonale, di cui faranno parte la superficie S e le sue pa- 
rallele e. d. d. ° 
38. Ciò premesso, cerchiamo l'effettiva espressione dell'elemento lineare dello spazio 
curvo (), quando una serie di superficie del sistema triplo ortogonale sia formata 
(1) Per un noto teorema di Liouville, ove si prescinda dalle inversioni per raggi vettori reci- 
proci, questa è l’unica rappresentazione conforme dello spazio a curvatura costante sullo spazio 
euclideo. 
(2) Veggasi p. e. Poincarè, Sur les groupes kleintens. Acta Math. V° 4, p. 56. 
(3) Cf. Killing, Die nicht-euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung $ 11. 
(4) Giornale di matematiche di Napoli. Vol. XXII. 
(3) Qui ed in seguito per spazio curvo intenderemo esclusivamente uno spazio di curvatura 
costante. 
