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e la 1® delle (2) darà l'ulteriore relazione 
d (1 VG) d(L WE cl, n. = 
(6) du (+ dU lar (da dv JE a? Pat sti 
. Inversamente se E, G, 7,7, sono quattro funzioni di %, v, che soddisfano le 
(5) (6), l'elemento lineare 
7 2 2 
(7) CB an (SÌ E. gn (2) du 4 Gr i COS (CI — 4 sen di dv'+dw? 
( a a a 7 a 
Pa 
i ARRE 1 TALI ai 
appartiene allo spazio di curvatura costante K inn poichè le (2) (2°) risultano 
soddisfatte. Facendo 2% =0 nella (7), si ha per l'elemento lineare della S 
dst — Bdu? ++ Gdo, 
donde risulta il significato geometrico di E, G. 
. : si 1 3 MERE 3 
Quando si avesse invece eo , basterebbe cangiare le funzioni circolari 
in iperboliche, e, rimanendo immutate le (5), le (6), (7) diverrebbero : 
3 (16) (1 dd VEGI a )_ 
(0) dU (+ a) i dv (È dU pa MP dai0 
, 1] 2 
(77) ALP cosà DES n me + Gi cosh (£ = 
( ANIA a )$ i a 
—. € gn (E) + dw®.. 
(A I 
4. Cerchiamo ora il significato geometrico di 7,7». Per ciò consideriamo nel 
sistema triplo ortogonale, definito dalla (7), una superficie T della serie w= cost' 
o v= costt° p. e. della prima. La T è il luogo delle normali alla superficie S lungo 
una linea 4 = costt*; il suo elemento lineare è dato, per la (7), da: 
3 pope L Li do 
(8) ds dw? + Gi cos (2) A sen (1 dv?. 
Ora per quel valore w, di w, pel quale si ha: 
(1) m=atg Di 
si annulla il coefficiente di 40° in (8), il che significa che ogni geodetica v = costt° 
della superficie T, cioè ogni normale della S lungo la linea considerata u= cost'°, 
è intersecata dalla successiva alla distanza w, dal piede della normale. Ogni linea 
u= costt della superficie S gode adunque della proprietà caratteristica per una linea 
di curvatura di una superficie nello spazio piano; si dirà perciò anche in questo caso 
linea di curvatura. Similmente è linea di curvatura per la S ogni linea dell'altro 
sistema v= costt°. La lunghezza w, si dirà raggio principale di curvatura, rela- 
tivo alle linee «= costt° e così la lunghezza ws, definita della relazione 
, W 
(7) ro = dg (È ; 
sarà il raggio principale di curvatura per le linee 0 = cost'°. 
