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Aggiungiamo che, per lo spazio di Riemann ora considerato, intenderemo i valori 
a: Wi W SCA ILA IT ATA 
di w,, ws presi in guisa che I, cadano fra i limiti — e +5-- Siccome 
nello spazio di Riemann, di curvatura = de la retta si chiude dopo un giro di 274 
e d'altra parte due rette, che s'incontrino in un punto, sì tagliano nuovamente dopo 
un mezzo giro di lunghezza = za, s'intende che, oltre i valori wi, %,, sono pure 
ammissibili gli altri 
Wr#- 04, Wa k- IO, 
come risulta altresì dalle formole (y) (71). 
Ciò che si è detto per K=+43 vale egualmente per K 3, ove si de- 
finiscano i valori di w%0;, ws colle formole 
wW W 
ry=a4gh (5) r,=atgh (2) ; 
Questi valori di %01, ws possono però in questo caso essere reali od immaginarî, 
ma, quando sono reali, sono sempre unici e determinati. 
Gli estremi dei raggi principali di curvatura si diranno i centri di curvatura e la 
superficie, luogo di questi centri (composta di due falde), superficie evoluta della S. 
Al limite per 4 = 00, cioè per K=0, 7,, 7 vengono a coincidere con 7%, 742 
e le formole precedenti (5) (6) (7) si riducono a quelle ben note dello spazio euclideo. 
Nel caso generale diremo 7, , 7» i raggi ridotti di curvatura. Come si yede, questi 
raggi ridotti sono sempre legati ai coefficienti E, Gr dell'elemento lineare della super- 
ficie, riferita alle sue linee di curvatura, dalle stesse formole (5), che valgono nel 
caso dello spazio piano. 
Intendendo per curvatura assol/ufa £ di una superficie, immersa nello spazio curvo, 
quella che compete al ‘suo elemento lineare, calcolato nella determinazione metrica 
dello spazio in cui esiste, la (6) o (6°) si può scrivere 
(Ta) = —k_—-K. 
A scanso di equivoci, è bene dichiarare che, per misura della curvatura di una 
superficie nello spazio curvo, si prende da taluni ‘la differenza k—K (1); ma qui 
sembra più conveniente d’indicarla, come faremo, col nome di curvatura relativa. 
Secondo che la curvatura relativa è positiva o negativa, i due centri di curvatura si 
trovano sulla normale dalla medesima parte o da parti opposte della superficie (2). 
5. Consideriamo ora la 1% falda S, della evoluta della superficie S. Il suo ele- 
mento lineare si otterrà dalla (7) o (7°), facendovi % = w, e sarà perciò 
(8) ds° = ce du 4 dw,È, per K=+T 
(1) Cf. Killing, 1. c. $ 11. 
(2) Per lo spazio di Riemann tale distinzione ha senso soltanto, riferendosi alla convenzione 
superiore. 
