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Se ne conclude che le linee w=cost!° sono, sulla prima falda dell'evoluta, linee geo- 
detiche e le linee w,= costt le loro traiettorie ortogonali, come nello spazio euclideo. 
Inversamente, se prendiamo una superficie qualunque S, e sovra di essa un si- 
stema arbitrario co? di linee geodetiche 4, le rette tangenti a queste geodetiche y 
‘saranno le normali di una serie di superficie X (parallele), per ciascuna delle quali 
la Si sarà una delle falde dell’evoluta. 
Per dimostrarlo immaginiamo tracciate sulla S, le traiettorie ortogonali / delle 
geodetiche g. Se sulle tangenti alle g stacchiamo un segmento eguale all'arco della 
geodetica 9g, contato da una traiettoria ortogonale fissa 4, il luogo degli estremi di 
questi segmenti sarà una superficie X, ortogonale a tutte queste tangenti. E infatti, 
sia M il punto di contatto di una qualunque di queste rette con una geodetica g 
ed M; l'estremo del segmento sopra x. Se M si sposta lungo una geodetica 9, l'estremo 
M, descrive, sopra X, una curva 91, evolvente di g e quindi ortogonale ai segmenti 
MM,. Se M si sposta invece lungo una traiettoria ortogonale 7, il segmento MM, 
sempre ortogonale alla /, rimane costante e perciò l’altro estremo M, descrive, sopra 
3, una curva 4, ortogonale ai segmenti stessi. Ogni segmento MM, essendo perpen- 
dicolare in M, a due curve 91, fn, uscenti da M, sopra X, è quindi la normale in 
M, della superficie X c. d. d. 
du? 4 div, per K PERI, 
(8') ds? = 7 
$ II 
Teorema di Weingarten sulle evolute. 
6. Per mezzo delle formole (8), (8) calcoliamo, sulla 1° falda S, della evoluta, 
la curvatura geodetica La delle linee w, = cost!°. Per ciò rammentiamo che, secolo 
una formola di Bonnet, se 
ds = Edu? + 2Fdu dv + Gdo? 
è l'elemento lineare di una superficie e 
g (u, v) = cost'° 
1 
l'equazione di un sistema di linee, tracciato sovra di essa, la curvatura geodetica — 
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di queste linee è data da: 
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