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Ne segue che l'elemento lineare (8) o (8°) della 1? falda S, dell’evoluta è ridu- 
cibile alla forma 
dst = dw + g? (w1) du, 
che appartiene ad una superficie di rotazione dello spazio piano. Ma per quanto ho 
dimostrato altrove (!), questa forma dell'elemento lineare compete altresì alle super- 
ficie di rotazione dello spazio a curvatura costante, sicchè possiamo enunciare per lo 
spazio curvo il teorema di Weingarten : 
Ciascuna falda dell’evoluta di una superficie, i cui raggi di curvatura sono. 
funzioni l'uno dell'altro, è applicabile sopra una superficie di rotazione. 
Insieme a questo teorema sussiste pure il suo inverso: 
Ogni superficie, applicabile sopra una superficie di rotazione, può considerarsi 
come una falda dell’evoluta di una superficie, î cui raggi principali di curvatura 
sono funzioni l'uno dell'altro. 
Per dimostrarlo basta ricorrere alle considerazioni, fatte dal prof. Beltrami, pel 
caso dello spazio piano, nelle sue: Ricerche di analisi applicata alla geometria (). 
Se S, è una superficie applicabile sopra una superficie di rotazione e le geodetiche 9 
sono le trasformate dei meridiani, le tangenti alle lince 9 sono le normali di una 
serie di superficie parallele X (n. 5), 
Una qualunque di queste superficie può considerarsi come evolvente e la S, come 
una falda dell’evoluta, p. e. rispetto al 1° raggio di curvatura w%,. Allora, in forza 
delle (8) (9), e perchè sopra ogni superficie di rotazione la curvatura geodetica dei 
paralleli è funzione dell’arco di meridiano, avremo 
cot (Eroi —F(w1) 
coti(L2) =1 (1), 
quindi anche ws = /(w.) c. d. d. 
Come nello spazio euclideo, vi ha però un caso di eccezione all'ultimo teorema. 
Questo caso si presenta quando le geodetiche g, trasformate dei meridiani, sono linee 
rette, ma qui non sarà ulteriormente discusso. 
8. Le numerose ed importanti conseguenze, che trae seco il teorema di Wein- 
garten nello spazio euclideo, sussistono inalterate negli spazî di Riemann e Lobat- 
schewsky. Qui ci limiteremo ad applicarlo alla trasformazione complementare delle 
superficie pseudo-sferiche (cf. S 8. M. A). 
Per questo cominciamo dall’osservare che se di una superficie S dello spazio 
curvo è costante la differenza w,—w> dei due raggi principali di curvatura, poniamo 
WTW=T, 
in forze delle (8), (8’), (10), (10’), all'elemento lineare della 1° falda S, della evo- 
luta si potrà dare la forma: 
2404 
dst=dw? +e * du’, 
(1) Vedi Rendiconti della R. Accademia 5 maggio 1878. 
(2) Giornale di matematiche di Napoli. Vol. III, 1865, p. 18 e sg. 
